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教案教学基本信息课题组合（2）学科数学学段：高中年级高二教材书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3（B版）出版社：人民教育出版社出版日期：2019年9月教学目标及教学重点、难点教学目标：1.正确运用两个基本计数原理分析，解决一些简单问题，掌握利用组合解决应用问题，体会处理组合问题的思路；2.在利用组合解决应用问题中，学会用分类讨论，转化与化归等思想去分析解决问题，培养分析问题，解决问题的能力；3.进一步增进有序、全面思考问题的意识，能结合问题条件和任务，建立相应的数学模型求解问题，进一步提升对问题的抽象和对方法的概括能力.教学重点、难点：明确应用问题中的任务并解决问题，归纳解决问题的方法.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图知识回顾复习组合定义，排列与组合的异同点，组合数公式和组合数性质.归纳：排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.许多问题可以抽象为“从n个不同元素中，任意取出m个元素”，如果取出元素后，问题解决，那这是个组合问题，可能出现的情况总数为组合数Cmn；如果取出元素后，还需要按一定的顺序排成一列（即对应不同的位置），那这是个排列问题，可能出现的情况总数为排列数Amn.通过排列，组合定义回顾，对比排列与组合的异同点，为后续识别问题类型做好准备.核心归纳，提出解决问题的一般方法.新课（一）简单的组合应用题.例1.平面内有10个点，其中任何3个点不共线，以其中任意2个点为端点(1)线段有多少条？(2)有向线段有多少条？例2某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；判断问题是组合问题，还是排列问题，用组合数或排列数表示其结果.体会识别问题类型便得解的过程，进一步体会学习组合数，排列数的实际意义.从实际应用出发，体会利用组合数，排列数解决实际问题的意义.(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全部赛程共需比赛多少场？小结：1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；2.解决组合应用题的基本思路是“化归”，即由实际问题建立组合模型，再由组合数公式计算结果，从而得出实际问题的解.（二）有限制条件的组合应用题.例3在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？小结：解答有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”或“间接法”（排除法）.用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则；选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多，较复杂或计算量大，不妨从反面问题入手，试一下是进一步归纳，整理思路.第(1)题无条件限制，可直接转化成组合问题，第(2)(3)有限制条件，学生需要全面思考问题.特别是对“恰好”“至少”的理解，从而将问题转化成相应的组合问题模型求解.“直接法”与“间接法”是在解答计数问题的常见方法.通过本小结，点明解答有限制条件的组合应用题的常用策略，为否简捷些.特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题更是如此.（三）分组与分配应用题.例4有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本.追问：若只是把这9本不同的书平均分成3组，有多少种不同的分组方法？小结：有9本不同的课外书，按条件求分组数.(1)分成3组，各有4本，3本，2本；非平均分组：(2)平均分成3组.平均分组：有9本不同的课外书，分配给甲、乙、丙三名同学，按条件求分法数.(1)一人得4本，一人得3本，一人得2本；非平均分配(2)每人3本.平均分配后续遇到此类问题提供解决方法.分组问题属于“组合”问题，分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．这是平均分组问题，解决该问题，能使学生对分组与分配问题的类型和对应策略有更完整的认识.本例中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益．要分清是分组问题还是分配问题，这个是很关键的．同时对应的求法也可以推广到其他类似问题上，关键在于区分问题类型的（四）其他组合应用题.例5如图所示，M，N，P，Q为湖面上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有多少种.分析：将M，N，P，Q这四个小岛抽象成M，N，P，Q四点，则要建造三座桥，转化为以这些点为端点，画3条线段；将这四个小岛连接起来，则要求从任意一点出发，通过所画线段可到达其他所有点.（五）课堂练习1.在平面直角坐标系xOy中，平行直线x＝n(n＝0,1,2,…,5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2,…,5)组成的图形中，矩形共有().A.25个B.36个C.100个D.225个2.要从12人中选出5人参加一次活动，其中A，B，C三人至多两人入选，有_____种不同归属.通过将M，N，P，Q这四个小岛抽象成M，N，P，Q四点，从而将问题转化成按条件画3条线段的问题，解决这个画线段的问题，实际问题便得解，体现了数学应用的价值.分析问题，将其转化成在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条的计数问题.进一步培养分析问题的能力.理解“至多”的含义，选择适当方法求解.选法.3.现有12人，按照下列要求分配，求不同的分法种数.(1)分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；(2)分为甲、乙两组，每组6人.分组与分配问题，要能够准确分析问题类型，寻找相应方法求解.总结解答组合问题的总体思路：(1)整体分类；(2)局部分步；(3)考察顺序；(4)辩证地看待“元素”与“位置”；(5)一些具体问题有时需要将它抽象成组合模型.利用类比，化归等数学思想来解题.归纳解答组合问题的总体策略，重温相关方法.学生通过小结，反思学习过程，加深对如何解答组合应用题，更深刻理解计数原理，组合数，排列数的意义，领会研究问题的方法和思想.作业1.有8名男生和5名女生，从中任选6人；(1)有多少种不同的选法？(2)其中有3名女生，共有多少种不同的选法？(3)其中至多有3名女生，共有多少种不同的选法？(4)其中有2名女生、4名男生，分别担任6种不同的工作，共有多少种不同的分工方法？2.将6名应届大学毕业生分配到3个子公司：(1)3个人分到甲公司，2个人分到乙公司，1个人分到丙公司，有多少种不同的分配方案？(2)一个公司去3个人，另一个公司去2个人，对本节课学习内容的复习与巩固.剩下的一个公司去1个人，有多少种不同的分配方案？