非齐次线性方程组

12第2.5节非齐次线性方程组311112211211222221122........................................nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa线性方程组的矩阵描述AXb矩阵形式12nxxXx12mbbbbm个方程，n个未知数411112211211222221122........................................nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb111212122212nnmmmnaaaaaaAaaam个方程，n个未知数(4)非齐次线性方程组11121121222212nnmmmnmaaabaaabBaaabLLMMMMML系数矩阵增广矩阵5●非齐次线性方程组有解的充要条件非齐次线性方程组AX=b有解向量b可由矩阵A的列向量组线性表示12,,,n向量组与向量组等价12,,,n12,,,,nb1212,,,,,,,nnRRb()()RARAAAb其中，称为增广矩阵定理线性方程组AX=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即。当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解；当时，方程组无解。()()RARArn()()RARArn()()RARA()()RARA6●非齐次线性方程组的解的性质非齐次线性方程组(1)AXb对应的齐次线性方程组0(2)AX如果是（1）的解，则是（2）的解。12,12如果是（1）的解，是（2）的解，则是（1）的解。证明1Ab2Ab120AAbAb0A证明7●非齐次线性方程组的解的结构定理如果是非齐次线性方程组的特解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，则非齐次线性方程组的通解可表示为。12,,,nr1122nrnrXkkk80AXAXb非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组AXb的通解为11nrnrXkk(1)(2)非齐次线性方程组的解的结构（1）的特解（2）的通解9非齐次方程解的情况总结：()()AXbRARA有解()()AXbRARAn有唯一解()()AXbRARAn解有无穷个()()AXbRARA无解100()()AXRARA一定有因为解,0()AXRAn唯一解有0()AXRAn无穷个解有齐次方程组解情况总结：11例判别方程组是否有解？5333342231322wzyxwzyxwzyx解方程组的增广矩阵为533334212313212A212310145503121572123101455000083)(,2)(ARAR所以方程组无解12例解线性方程组0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx解将方程组的增广矩阵作初等行变换113113134415980A21313113110467104671rrrr3221()4113113710124400000rrr12335102443710124400000rr()()2RARA13即得4433432431414723454323xxxxxxxxxx54140012121,234()1001xxkkkkRxx32323474Axb的通解为11nrnrxkk（1）的特解（2）的通解33510244371012440000014例求解线性方程组23424538213496xyzxyzxyzxyz解将增广矩阵作行初等变换23141245382134196A12324212234rrrrrrrr12450771401414280771432422122172rrrrrrr102101120000000015所以()()23RARA方程组有无穷多解一般解为122xzyz（其中Z为自由未知量）令Z=K，将一般解改写为向量形式，得122101xykz其中为基础解系21116例求解线性方程组，当K为何值时，方程组有（1）唯一解？（2）无解？（3）无穷多解？并用基础解系表示通解。21kxyzxkyzkxykzk解方程组的系数行列式为21111(2)(1)11kkkkk（1）当且时，方程组有唯一解。2k1k（2）当时，增广矩阵为2k211112121124A033903361124000303361124()3()2RARA此时，方程组无解。13232rrrr12rr17（3）当时，增广矩阵为1k111111111111A111100000000此时方程组有无穷多解，一般解为()()13RARAn1xyz（为自由未知量）,yz即12111010001xykkz12111,001为基础解系18练习12312321231111xxxxxxxxx为何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？有无穷多解时，求解方程组。解方程组的系数行列式为2111111(3)111（1）当且时，方程组有唯一解0319（2）当时，方程组的增广矩阵为01111111011102131rrrr111100010001方程组无解()1,()2RARA（3）当时，方程组的增广矩阵为3211112131129方程组无解()2,()3RARA123()rrr00071213112920作业•P722.5(1)2.7