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2.2.2反证法兰州市五十九中（兰炼二中）孙雯【问题1】广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？实际说的是“不拥有的人们不幸福”．情境引入【问题2】已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c不可能都是奇数．你能利用综合法或分析法给出证明吗？【问题3】a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？此时，还满足条件a2＋b2＝c2吗？a，b，c都是奇数．此时不满足条件a2＋b2＝c2.1．反证法的定义在证明数学命题时，先假定成立，在这个前提下，若推出的结果与、、相矛盾，或与命题中的相矛盾，或与相矛盾，从而断定不可能成立，由此断定成立，这种证明方法叫作反证法．命题结论的反面定义公理定理已知条件假定命题的反面命题的结论新课讲解【问题2】已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c不可能都是奇数．2．反证法的证题步骤(1)作出的假设；(2)进行推理，；(3)，肯定结论．否定结论导出矛盾否定假设[例1]已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[思路点拨]此题为否定形式的命题，可选用反证法，证题关键是利用等差中项、等比中项．与命题条件相矛盾一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．,,abc解：假设成等差数列,2,bac则42bacac即2,bac而,,,,abcabc这与不成等差数列矛盾，故不成等差数列。2bac即1．用反证法证明2＋33.证明：假设2＋33不成立，则2＋3≤3.平方得：2＋26＋3≤9，即6≤2,6≤4，这与实数的大小关系相矛盾，所以2＋33.练习：与公理、定理或已被证明了的结论矛盾【例2】．用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行．证明：假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以过直线外一点只有一条直线与已知直线平行.与假设自相矛盾[例3]写出命题的假设：已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.解：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.小结：(1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n－1个至少有n＋1个练习：已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．证明：假设a不是偶数，则a为奇数．设a＝2m＋1(m为整数)，则a2＝4m2＋4m＋1.∵4(m2＋m)是偶数，∴4m2＋4m＋1为奇数，即a2为奇数，与已知矛盾．∴a一定是偶数.这节课你有些什么收获？作业：课本：P91习题2.21、2、3、4