误差理论与数据处理总结

第一章绪论第一节研究误差的意义一、研究误差的意义1、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减少误差。2、正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。3、正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到最理想结果。4、研究误差可促进理论发展。（如雷莱研究：化学方法、空气分离方法。制氮气时，密度不同，导致后人发现惰性气体。）第二节误差基本概念一、误差定义及表示方法（一）定义：被测量的值与真值差异在数值上的表现—误差。误差=测得尺寸—真实尺寸（二）误差表示方法（测量误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示）1、绝对误差（测量误差）方向（+—）、单位、大小。绝对误差=测得值—真值在实际工作中常用到修正值：为减少或消除系统误差一种处理方法。修正值=真值—测量值=—绝对误差2、绝对误差绝对误差相对误差真值测量值相对误差：（1）有大小、方向（+—）、无单位。常用%表示。（2）对于相同的被测量，可用绝对误差评定精度。对于不同的被测量或不同的物理量，可用相对误差评定精度。3、引用误差：指的是仪器仪表表示值的相对误差。仪器仪表示值误差=示值—真值引用误差=示值误差/测量范围上限rm=ΔXm/Xm仪器标称范围或量程内的最大绝对误差/该标称范围（或量程）上限有大小，有方向，无单位，相对量程而言。等级S级：rm≤S%所产生的最大绝对误差：ΔXm=±Xm×S%最大相对误差为：rx=ΔXm/X=±Xm/x×S%说明：（1）量程相同的表，精度等级高，测量精度高。量程不同的表，精度等级高，测量精度不见得高。（2）仪表量程选用最好测量值在量程2/3左右为好，能充分发挥仪表精度等级作用。二、误差来源在测量过程中，按误差产生的原因可归纳为：（一）测量装置误差1、标准量具误差2、仪器误差：3、附件误差：（二）环境误差测量时各种环境因数与规定的标准状态不一致造成的误差（三）、方法误差由于测量方法不完善所引起的误差。（四）、人员误差分辨能力、视觉器官的生理变化、习惯、疏忽等引起的误差。三、误差分类按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差（也称偶然误差）和粗大误差三类。（一）系统误差在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差—系统误差。如标准量值不准、一起刻度不准确引起的误差。系统误差又可按下列分类：1、按对误差掌握的程度分（1）已定系统误差：指误差的绝对值和符号已确定（2）未定系统误差：指误差的绝对值和符号未确定，但可的出误差范围。2、按误差出现规律分（1）不变系统误差：（指绝对值和符号一定）相当于以定系统误差。（2）变化系统误差：（指绝对值和符号为变化）相当于未定系统误差，但变化规律可知，如线性、周期性等。（二）随机误差（randomerror）在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差—随机误差。（三）粗大误差指明显超出统计规律预期值的误差—粗大误差。又称为疏忽误差、过失误差、寄生误差或简称粗差。第三节精度定义：反映测量结果与真值接近程度的量。与误差的大小相对应，因此可用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。精度可分为：（1）准确度：系统误差（2）精密度：随机误差（3）精确度：系统误差和随机误差。其定量特征可用测量的不确定度（极限误差）来表示。精度在数量上可用相对误差表示，如相对误差为0.01%，可以说精度为410。a：弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差大，即精密度低，正确度高。b：弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大而随机误差小，即精密度高，正确度低。c：弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密度、正确度都高，从而准确度亦高。第四节有效数字与数据运算一、有效数字含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非0的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到列最末一位数字止的所有数字，无论0或非0，都是有效数字。二、数字舍入规则（凑整）“四舍六入逢五取偶”三、数据运算规则在有效数据后多保留一位参考（安全）数字。（1）近似加减运算。结果应与小数位数最少的数据小数位数相同。（2）近似乘除运算。运算以有效位最少的数据位数多取一位，结果位数相同。（3）近似平方或开方运算。按乘除运算处理。（4）对数运算。n位有效数字的数据该用n位对数表，或（n+1）位对数表。（5）三角函数。角度误差''10''1''0.1''0.01函数值位数5678第二章误差的基本性质与处理第一节随机误差定义：在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的方式变化的（但具有统计规律的）测量误差—随机误差。（在等精度测量条件下）一、随机误差产生的原因1、测量装置方面：零部件配合的不稳定性，零部件的变形，零件表面油膜不均匀，摩擦等。2、环境方面：温度、气压、，光照强度、灰尘及电磁场变化。3、人员方面：瞄准方向的不稳定，读数的不稳定。二、随机误差的统计特性—正态分布多数随机误差服从正态分布（不含系统误差和粗大误差），有以下四个特征；1、对称性：2、单峰性：3、有界性：4、抵偿性：随机误差的正态分布规律：设被测量的真值为0L，一系列测得值为il。则测量列中的随机误差i为0iilL式中1,2,in。正态分布密度22212fe分布函数22212Fed—标准差（方均根误差）e—自然对数的底=2.7182。。。数学期望0Efd方差22fd平均误差40.79795fd此外由212fd可解得或然误差为20.67453正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。—曲线上拐点A的横坐标—曲线右半部面积重心B的横坐标—右半部面积的平分线的横坐标。三、算术平均值1、公理：一系列等精度测量，则0iilL。0L—真值随机误差的代数和00111nnniiiiiilLlnL110nniiiilLn根据正态分布随机误差的对称性，当n，0in所以10niilxLn即无限多次测量的算术平均值即为真值2、残余误差=测量值—平均值即iiVlx3、算术平均值的校核方法：（1）1niilxn，而1110ninniiiiilVlnnn（2）残余误差代数和绝对值1niiV应符合：当n为偶数时，则12niinVA；当n为奇数时，则10.52niinVA；A为x末位数的一个单位。多数情况下用规则（2）来校核。四、测量的标准差（方均根误差）0cxxx0xxx2定义：2222121nininnn—测量次数充分大0iilL（真值）（1）贝塞尔公式211niiVn评定单次测量不可靠性的参数还有或然误差和平均误差，用残余误差表示21231niiVn21451niiVn测量列算术平均值的标准差xn（2）别捷尔斯法11.2531niiVnn（3）极差法（简便）极差maxminnxx（两者从服从正态分布的1nxx中选出。）nnd其中nd极差系数（查表）（4）最大误差法（可应用于单次测量）真值未知，选取残余误差maxiV，当服从正态分布。max'inVK（maxiiVxx）1nK'1nK（查表）五、测量的极限误差P—置信概率，1P=a—显著度，显著水平（一）单次测量的极限误差limx220222ttPedtt不同t的t概率积分值可由附录表1查出。（二）算术平均值的极限误差limx正态分布：limxxtt由P决定t=2.6，P=99%当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布或称t分布计算。即limaxxt（式中at—置信系数，由给定的置信概率1Pa和自由度1Vn来确定，具体数值将附表3（t分布表），a为超出误差的概率（称显著度或显著水平）常取0.01,0.02,0.05a。n为测量次数。）对同一测量列，按正态分布和t分布分别计算，即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不同，求出的limx也不同。测量结果：X=+limx六、不等精度测量（测量次数不同引起的不等精度）n精度可信赖程度Pn=P第二节系统误差一、系统误差产生的原因（1）测量装置的因素：仪器设计原理的缺陷，如齿轮杠杆测微仪直线位移和转角不成比例的误差；仪器制造和安装的不正确，如标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏心、仪器导轨的误差；计量校准后发现的偏差，如标准环规的直径偏差。（2）测量环境的因素：测量时的实际温度对标准温度的偏差，对测量结果可以按确定规律修正的误差等等（3）测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算公式等所引起的误差；（4）测量人员的因素：由于测量者固有的测量习性，如读出刻度上读数时，习惯于偏于某一个方向，记录动态测量数据时总有一个滞后的倾向等。二、系统误差的特征系统误差特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，误差按一定的规律变化。(a)无补偿性：影响算术平均值的估计(b)可变系统误差影响测量结果分散性的估计（1）不变系统误差（2）线性变化的系统误差：（3）周期性变化的系统误差（4）复杂规律变化的系统误差三、系统误差的发现（一）实验对比法（适用于不变的系统误差）：（二）残差观察法（适用于发现有规律变化的系统误差）：P36iiVlx结论；任一测量值的残差为系统误差与测量列系统系统误差平均值之差(无法发现不变系统误差)（三）残差校核法：1、用于发现线性系统误差。（马利科夫准则）将测量列中前K个残差相加，后n-K个残差相加（当n为偶数，取；2Kn。n为奇数，12Kn）两者相减得差值。1111KnKnijijijKijKVVlxlx若显著不为0，则认为测量列存在线性系统误差。=0时，仍有可能存在系统误差，如含定值系统误差，其均值为0，则=0。2、用于发现周期性系统误差。（阿卑—赫梅特准则）若有一等精度测量列，按测量先后顺序将排列为12,,nvvv。如存在周期性系统误差，则相邻两残差的差值1iivv，符号也将出现周期性的正负号变化。用统计准则。令11122311niinniuVVvvvvvv3若21un，则认为该测量列中含有周期性系统误差。（四）不同公式计算标准差比较法：按贝塞尔公式2111niiVn按别捷尔斯公式121.2531niiVnn令211u，若21un，则怀疑测量列中存在系统误差。（五）计算数据比较法：（测量组间）若对同一量独立测量m组结果，并知它们的x和i为1122,,mmxxx。而任意两组结果之差为ijxx，其标准差为22ij。则任意两组结果ix和jx间不存在系统误差的标志是：222ijijxx（六）秩和检验法（用于两组数据）两组数据：ix1,2,xinjy1,2,yjn将它们混合后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，数出它的测量值在混合后的次序9（秩）再将所有测得值的次序相加，即得秩和T。当两组测量次数12,10nn，可根据次数较少组的次数1n和较多的组的次序2n，由秩和检验表2-10（P14）查得T和T（显著度为0.05），若TTT，则无根据怀疑两组间存在系统误差。（七）t检验法（利用t分布进行的检验）（测量组间）若独立测得两组数据（服从正态分布）为ix1,2,xinjy1,2,yjn令变量2