第六章-第一讲-偏微分方程的有限元法

数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]1/54第五章偏微分方程的有限元法5.1泛函与变分原理5.2基于变分原理的有限元法5.3matlab有限元法工具箱数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]2/54第五章偏微分方程的有限元法有限元法（FEA，FiniteElementAnalysis，FEM）数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]3/54第五章偏微分方程的有限元法有限元法（FEA，FiniteElementAnalysis，FEM）有限元法的基本思想是用较简单的问题代替复杂问题，然后再对简单问题进行求解的数值计算方法。有限元法将求解域看成是由许多被称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个较简单的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解。有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的数值计算方法。有限元法于上世纪50年代首先在力学领域-----飞机结构的静、动态特性分析中得到应用，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元法主要用于求解拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中。数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]4/54第五章偏微分方程的有限元法有限元法---变分原理基于变分原理的有限元法是逼近论、偏微分方程、变分与泛函分析的巧妙结合。基于变分原理的有限元法以变分原理为基础，把所要求解的微分方程定解问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，然后利用剖分插值，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，把离散化的变分问题转化为普通多元函数的极值问题，然后推导求解这个域总的满足条件(边界条件），即最终归结为一组多元的代数方程组，求解代数方程组，就得到待求边值问题的数值解。数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]5/54第五章偏微分方程的有限元法有限元法特点1.有限元法的物理意义直观明确，理论完整可靠。因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理（如力学中的最小势能原理）。2.优异的解题能力。有限元法对边界几何形状复杂以及媒质物理性质变异等复杂物理问题求解上，有突出优点：①不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。②不必单独处理第二、三类边界条件。③离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]6/545.1泛函与变分原理泛函的概念，可以看作是函数概念的推广设在x,y平面上有一簇曲线y(x)，其长度22222)1(dxdxdydydxdsdxyds)1(21021xCxLdsydxy(x)不同，L也不同，L和y(x)之间这种依赖关系，称为泛函关系。数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]7/545.1泛函与变分原理类似的例子还可以举出很多，例如，闭合曲线围成的面积，平面曲线绕固定轴而生成的旋转体积或表面积，等等，它们也都确定了各自的泛函关系。这里的函数集合，即泛函的定义域，通常包含要求y(x)满足一定的边界条件，并且具有连续的二阶导数，这样的y(x)称为可取函数。数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]8/545.1泛函与变分原理定义在一定区间上的连续实函数，函数f是一个规则，把区间上的每一个点x和相应的实数y=f(x)联系起来；对于泛函，则必须给出某一区间上的函数y(x)，才能对应一个泛函值J[y];泛函是函数的函数，y(x)称变量函数。5.1.1泛函的定义设D是函数的集合，R是实数集合。如果对D中的任一元素y(x)，在R中都有一个元素J与之对应，则称J为y(x)的泛函，记为J[y(x)]。数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]9/545.1泛函与变分原理例5.1.1质点在重力作用下，沿一条光滑的从A点（初速度不为零）到B点的曲线运动，如图所示。不考虑摩擦和阻力，求下落时间最短的曲线。由能量守恒定律得出：ABxyOx0x1捷线问题22012mvvmgy数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]10/545.1泛函与变分原理线元处的质点速度为ABxyOx0x1202vgyv22012dsydTdxvgyvds线元下落时间为从A点到B点的下落时间为102201[()]2xxyTdxJyxgyvmin)]([xyJ数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]11/545.1泛函与变分原理ABxyOx0x1捷线问题：记T=T(y)，选取y(x)ϵC1[x0,x1],且满足y(x0)=0,y(x1)=y1，令在M中求T，使得：101011,,0,MyxyxCxxyxyxyminyMTTy数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]12/545.1泛函与变分原理5.1.2变分问题设y0ϵD，若对任意yϵD，有J(y0)≤J(y)，则称泛函J(y)在y0达到极小值，记0minyDJyJy泛函的极值问题，称为变分问题，极值y0称为变分问题的解，变分法是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法。变分法讨论的问题变往往比较复杂，其解的存在性和唯一性往往不容易判断，求解更是困难；通常限于讨论某几类简单的泛函在特定的可取函数类上的极值问题。数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]13/545.1泛函与变分原理5.1.2变分问题最简单、最基本的泛函是积分型泛函：10),,()]([xxdxyyxFxyJF(x,y,y’)称为泛函的“核函数”F只包含自变量x、未知函数y(x)以及导数y’(x)，是R3中的某个区域上的二次连续可微函数。积分型泛函的变分问题：高等数学中，函数极值的定义？函数达到极值的条件？数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]14/545.1泛函与变分原理5.1.2变分法研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫直接法，即直接分析所提出的问题；另一类叫间接法，即把问题转化为求解微分方程．为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分．数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]15/76变分：泛函的一切容许函数表示为y=y0+属于M令变分问题的解(极值函数)为y=y0(x)是一个任意给定的微量实参数；(x)是满足一定连续性且使得y0+仍然属于M的任意函数；变分问题：当给定，J(y0+)=J[y(x,)]=j()成为参数的函数；5.1泛函与变分原理0min!JyJy数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]16/76泛函极值问题转化为一般函数的j()极值问题，即：当=0时泛函取得极小值J(y0)，根据微积分学可知，泛函在y0取得极值的必要条件是min!jJy000Jy00j极小值充分条件：000Jy00j变分：是J在y0处的变分，记为0jJ5.1泛函与变分原理数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]17/545.1泛函与变分原理5.1.3泛函的变分设y(x)是泛函J定义域内任一函数，如果y(x)变化为新函数Y(x)，且Y(x)属于泛函J的定义域，则Y(x)与y(x)之差为函数y(x)的变分。)()(xyxYy变分δy是x的函数，它不同于函数的增量Δy。yyxxyx数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]18/545.1泛函与变分原理泛函极值：δy(x)：函数y(x)的变分数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]19/545.1泛函与变分原理5.1.3泛函的变分变分的几条简单运算法则：数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]20/545.1泛函与变分原理5.1.3泛函的变分变分运算的几条简单法则：数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]21/545.1泛函与变分原理5.1.3泛函的变分上述运算法则，均可以推广到多元函数的情形。数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]22/545.1泛函与变分原理5.1.3泛函的极值仿照函数极值必要条件的导出办法，导出泛函取极值的必要条件：不妨不失普遍性地假定，所考虑的变量函数均通过固定的两个端点y(x0)=a,y(x1)=b;因此，δy(x0)=0,δy(x1)=0考虑泛函的差值：10),,(),,()()(xxdxyyxFyyyyxFyJyyJJ数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]23/545.1泛函与变分原理2222222(,,)1(,,)(,,)(,,)1!1(,,)(,,)(,,)22!FxyyyyFxyyFxyyFxyyyyyyFxyyFxyyFxyyyyyyyyyy当函数的变分δy(x)足够小时，可以将被积函数在极值函数附近做泰勒展开：数学物理方法BeijingInstituteofTechnologyDeng,[e-mail]24/545.1泛函与变分原理其中10222122!yyxxyyyyyyFyFyJdxFyFyyFyJJ