9-专题研究2

高考调研第1页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究二圆锥曲线中的最值与范围高考调研第2页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解题组层级快练高考调研第3页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解高考调研第4页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习题型一最值问题例1已知P为抛物线y＝14x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．高考调研第5页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】如图，抛物线y＝14x2，即x2＝4y的焦点为F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y＝－1上的投影为P′，根据抛物线的定义知，|PP′|＝|PF|，则|PP′|＋|PA|＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝22＋－12＝5.所以(|PA|＋|PM|)min＝(|PA|＋|PP′|－1)min＝5－1.【答案】5－1高考调研第6页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【讲评】一看到本题，不少同学可能会依常理“出牌”——构造函数，将问题转化为求函数的最值，然而其最值很难求得，这也恰恰落入了命题者有意设置的“圈套”之中．事实上，与抛物线的焦点(或准线)相关的最值问题，更多的是考虑数形结合，利用抛物线的定义进行转化，然后再利用三点共线或三角形的三边关系加以处理．高考调研第7页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究1圆锥曲线中最值的求法有两种：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．高考调研第8页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．思考题1【解析】设与直线x＋y＋5＝0平行且与抛物线y2＝2x相切的直线方程是x＋y＋m＝0，则由x＋y＋m＝0，y2＝2x，消去x，得y2＋2y＋2m＝0.令Δ＝4－8m＝0，得m＝12，因此|PQ|的最小值等于直线x＋y＋5＝0与x＋y＋12＝0间的距离，即等于|5－12|2＝924.【答案】924高考调研第9页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习例2(2013·浙江文)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．高考调研第10页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p0)，则p2＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y，消去y，整理，得x2－4kx－4＝0.所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4k2＋1.高考调研第11页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习由y＝y1x1x，y＝x－2，解得点M的横坐标为xM＝2x1x1－y1＝2x1x1－x214＝84－x1.同理，点N的横坐标xN＝84－x2.所以|MN|＝2|xM－xN|＝2|84－x1－84－x2|高考调研第12页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习＝82|x1－x2x1x2－4x1＋x2＋16|＝82k2＋1|4k－3|.令4k－3＝t，t≠0，则k＝t＋34.当t0时，|MN|＝22·25t2＋6t＋122；当t0时，|MN|＝22·5t＋352＋1625≥852.综上所述，当t＝－253，即k＝－43时，|MN|的最小值是852.【答案】(1)x2＝4y(2)852高考调研第13页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设存在斜率的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．高考调研第14页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，依题意ca＝63，a＝3，∴b＝1，∴所求椭圆方程为x23＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)①当AB⊥x轴时，|AB|＝3.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知|m|1＋k2＝32，得m2＝34(k2＋1)．高考调研第15页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.∴x1＋x2＝－6km3k2＋1，x1x2＝3m2－13k2＋1.∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)36k2m23k2＋12－12m2－13k2＋1＝12k2＋13k2＋1－m23k2＋12＝3k2＋19k2＋13k2＋12＝3＋12k29k4＋6k2＋1高考调研第16页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习＝3＋129k2＋1k2＋6(k≠0)≤3＋122×3＋6＝4.当且仅当9k2＝1k2，即k＝±33时等号成立．当k＝0时，|AB|＝3，综上所述|AB|max＝2.∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S＝12×|AB|max×32＝32.【答案】(1)x23＋y2＝1(2)32高考调研第17页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习例3(2015·福建福州质检)如图所示，直线y＝m与抛物线y2＝4x交于点A，与圆(x－1)2＋y2＝4的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是________．题型二范围问题高考调研第18页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】由抛物线和圆的对称性知，当A，B重合时，三角形ABF的周长达到最小值的极限，此时，值为4；当A为抛物线的顶点，B在x轴上时，三角形ABF的周长达到最大值的极限，此时，值为6.故△ABF的周长的取值范围是(4,6)．【答案】(4,6)高考调研第19页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究2求范围时注意椭圆、双曲线、抛物线的有界性，还要注意判别式对范围的影响．高考调研第20页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习思考题3过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13k12，则椭圆离心率的取值范围为________．高考调研第21页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】由题意知：B(c，b2a)，∴k＝b2ac＋a＝a－ca＝1－e.又13k12，∴131－e12，解得12e23.【答案】(12，23)高考调研第22页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习例4已知点G是△ABC的重心，A(0，－1)，B(0,1)，在x轴上有一点M，满足|MA→|＝|MC→|，GM→＝λAB→(λ∈R)．(1)求点C的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q，且满足|AP→|＝|AQ→|，试求k的取值范围．高考调研第23页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)设C(x，y)，则G(x3，y3)．因为GM→＝λAB→(λ∈R)，所以GM∥AB.又M是x轴上一点，则M(x3，0)．又|MA→|＝|MC→|，所以x32＋0＋12＝x3－x2＋y2，整理得x23＋y2＝1(x≠0)，此即为点C的轨迹方程．高考调研第24页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)①当k＝0时，l和椭圆C有两个不同交点P、Q，根据椭圆的对称性有|AP→|＝|AQ→|.②当k≠0时，可设l的方程为y＝kx＋m，联立方程组y＝kx＋m，x23＋y2＝1，消去y整理，得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.①因为直线l和椭圆C交于不同两点，高考调研第25页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习所以Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)·3(m2－1)0，即1＋3k2－m20.②设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两相异实根，所以x1＋x2＝－6km1＋3k2，x1x2＝3m2－11＋3k2.则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是x0＝x1＋x22＝－3km1＋3k2，y0＝kx0＋m＝m1＋3k2，即N(－3km1＋3k2，m1＋3k2)．又|AP→|＝|AQ→|，高考调研第26页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习所以AN→⊥PQ→，所以k·kAN＝k·m1＋3k2＋1－3km1＋3k2＝－1.所以m＝1＋3k22，将m＝1＋3k22代入②，得1＋3k2－(1＋3k22)20(k≠0)，即k21，所以k∈(－1,0)∪(0,1)．综合①②得k的取值范围是(－1,1)．【答案】(1)x23＋y2＝1(x≠0)(2)(－1,1)高考调研第27页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习已知曲线C：y2＝－4x(x－3)，直线l过点M(1,0)交曲线C于A，B两点，点P是AB的中点，EP是AB的中垂线，E点的坐标为(x0,0)，试求x0的取值范围．【解析】由题意可知，直线l与x轴不垂直，可设l：y＝k(x－1)，代入曲线C的方程，得思考题4高考调研第28页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习k2x2＋2(2－k2)x＋k2＝0(－3x≤0)．①设f(x)＝k2x2＋2(2－k2)x＋k2，由直线l交曲线C于A，B两点，则必有(等价代数形式)k≠0，Δ＝42－k22－4k40，|k|32，解之得k∈－1，－32∪32，1.高考调研第29页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习由方程①，得xA＋xB＝2k2－2k2，xP＝12(xA＋xB)＝k2－2k2，yP＝k(xP－1)＝－2k.所以直线EP的方程为y＋2k＝－1kx－k2－2k2.令y＝0，得x0＝－1－2k2.高考调研第30页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习∵34k21，∴－113x0－3，即x0的取值范围是－113，－3.【答案】－113，－3高考调研第31页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习题组层级快练