电力电子专论—矢量变换原理与坐标变换

矢量变换原理与坐标变换一、从异步电动机矢量控制的基本思想出发由于交流异步电动机中的电压、电流、磁通和电磁转矩各物理量间是相互关联的强耦合，并且其转矩正比于主磁通与电流，而这两个物理量是随时间变化的函数，在异步机数学模型中将出现两个变量的乘积项，因此又为多变量,非线性系统(关键是有一个复杂的电感矩阵),这使得建立异步电动机的准确数学模型相当困难。为简化电机的数学模型,须从简化磁链关系入手.矢量变换原理与坐标变换解决的思路与基本分析：1.已知，三相(ABC)异步电动机的定子三相绕组空间上互差120度，且通以时间上互差120度的三相正弦交流电时，在空间上会建立一个角速度为的旋转磁场。又知，取空间上互相垂直的（,)两相绕组，且在绕组中通以互差90度的两相平衡交流电流时，也能建立与三相绕组等效的旋转磁场。此时的电机数学模型有所简化.1矢量变换原理与坐标变换2.还知,直流电机的磁链关系为:F---励磁绕组轴线---主磁通的方向,即轴线在d轴上,称为直轴(Directaxis).A---电枢绕组轴线---由于电枢绕组是旋转的,通过电刷馈入的直流电产生电枢磁动势,其轴线始终被限定在q轴,即与d轴成90度,称为交轴(Quadratureaxis).由于q轴磁动势与d轴主磁通成正交,因此电枢磁通对主磁通影响甚微.换言之,主磁通唯一地由励磁电流决定,由此建立的直流电机的数学模型十分简化.如果能够将三项交流电机的物理模型等效的变换成类似的模型，分析和控制就变得大大简单了。矢量变换原理与坐标变换电机模型彼此等效的原则：不同坐标系下产生的磁动势(大小、旋转）完全一致。关于旋转磁动势的认识：1)产生旋转磁动势并不一定非要三相绕组不可。结论是，除了单相电机之外，两相,三相或四相等任意对称（空间）的多相绕组，若通以平衡的多相电流，都可产生旋转磁动势。根据这一道理，利用其在空间上互差90度的静止绕组，并通以时间上互差90度的平衡交流电流，同样可产生旋转磁场（或磁动势F），因而可等效代替三相绕组的作用。这就是ABC(3-2)变换的思路。2)。进而认识到，若直流电机电枢绕组以整体同步速度旋转，使其相互正交或垂直的绕组M,T分别通以直流电流，产生的合成磁动势F相对于绕组是固定不变的，但从外部看，它的合成磁动势也是旋转的。因此还可产生dq(2-2)变换.矢量变换控制的基本思想：通过数学上的坐标变换方法，把交流三相绕组中的电流变换为两相静止绕组中的电流。可以使数学模型的维数降低，参变量之间的耦合因子减少，使系统数学模型简化。小结11矢量变换原理与坐标变换以产生同样的旋转磁动势为准则，可以用以下关系来表示三相交流绕组===两相交流绕组===整体旋转直流绕组空间互差120，空间互差90，空间互差90,通以时间上互差120通以时间上互差90分别通以直流电流,且整个铁心的三相平衡交流电.的两相平衡交流电.以同步速度旋转（即磁动势与坐标系一起旋转）(A,B,C)(,)(d,q)三相静止坐标两相静止坐标两相旋转坐标FFqFCAdB1坐标变换和变换矩阵二、坐标变换所谓坐标变换的方法就是用一组新的变量来代替原方程中的一组变量，使得原方程（数学模型）得以简化（弱化强耦合或解耦）。1．变换原则---功率不变约束条件设电压方程为新定义的变量为Ziuiu,坐标变换和变换矩阵设电压变换矩阵为，电流变换矩阵为，则变换前后的电压和电流关系式为假设变换前后功率不变，即经代入整理后，有为简化变换阵，一般取uCiCuCuuiCiiuiuiuiuiTTTTPPPPECCuiuCCiuCiCuTiTuTiTuTi)(CCCiu1CCECCTT代入上式，则有式中,C为单元变换矩阵，这种变换属于正交变换。满足上述功率不变约束条件的正交变换实现了简化的统一变换关系。2．(3s/2s变换)三相静止轴系A-B-C到两相静止轴系的变换为便于分析，取三相绕组匝数相等，,并取两相绕组匝数也相等，。可得到，两相绕组的旋转磁动势与三相绕组的磁动势等效表达式3NNNNCBA2NNN240sin120sin0240cos120cosCCBBCCBBAAiNiNiNiNiNiNiN1CCECCTT坐标变换与变换矩阵坐标变换与变换矩阵从而找出3/2磁动势等效下的两种电流间的对应关系及其变换矩阵，（为保证推导的严谨性，在非方阵中引入一个独立变量，称为零轴电流。当定子绕组为Y形接线时，可在变换矩阵中消去该独立因子）经推导整理可以得到3/2变换表达式，CBAiiiNNii240sin120sin0240cos120cos123CBAiiiii232302121132坐标变换与变换矩阵已知无零线Y形接线时，，则有。代入上式进而可简化为:反变换关系与变换矩阵为:上式对电压和磁链也成立。0CBAiiiBACiiiiiiiiiiiBABA2161032221023坐标变换与变换矩阵3．(2s/2r变换)二相静止轴系到二相旋转轴系d,q的变换假如有两个相互垂直的绕组，在两绕组中分别通以直流电流，并且将此固定磁场以同样的角速度旋转，则两相旋转绕组产生的合成磁场也是一个旋转磁场。再进一步使两绕组轴线与三相绕组（或与两相静止绕组的轴线同方向）的旋转磁场方向相同。由此即可用两个直流分量来替代三相交流电。这可进一步简化参变量间的关系。设两相静止坐标系与两相旋转坐标系间的夹角为（且随时间变化），01t坐标变换与变换矩阵由两相静止轴系与两相旋转轴系的等效磁动势表达式可以得到变换关系，iiiiqdsincoscossin坐标变换与变换矩阵4．3/22/2变换的物理意义：当定子三相电流为:代入3/2变换式，有其中，。上式说明，从静止三相A-B-C变换到静止二相d-q，在D、Q绕组中通以互差90度的与三相同频率的两相平衡正弦交流电流，即可获得与三相静止绕组等效的磁动势。)34sin()32sin()sin(111tIitIitIimCmBmA)cos()sin(112ttIiimqd。mmII232坐标变换与变换矩阵又可知，将上式部分（d轴）展开后有，因此，d轴分量又可分别定义为瞬时有功电流和瞬时无功电流之和，tIitIimdqmdp1212cossinsincosdqdpdiii坐标变换与变换矩阵5．3/2变换结果代入2/2变换后有上式说明，在D-Q轴上通以两个直流电流，其大小分别为三相绕组中的有功电流和无功电流。这样也可获得与三相绕组等效的磁动势。)cos()sin(sincoscossin112ttIiimqdsincos22mmqdIIii坐标变换与变换矩阵6．由3/2变换的瞬时无功功率理论可以获得与上述同样的结果已知，假定三相瞬时电压为三相平衡电压源，A相电压为，代入电压3/2变换有iieeeeiieqpqpttEeem11cossin23坐标变换与变换矩阵代入上式整理后，有可见，上式与2/2变换结果相同。iittttEqpm1111sincoscossin23iittttiiqp1111sincoscossin坐标变换与变换矩阵7.进一步引申还可知道可以看出，经过3/2和2/2变换，三相交流系统中的基波有功分量和基波无功分量在d-q坐标系表示为直流分量，或者讲，被变换的三相电流中若既含有基波电流，又有高次谐波电流，则经过变换后所获得的直流分量对应原来的基波电流，而变换获得的谐波分量将对应原来的（n-1）次谐波电流（注意到，3/2变换的结果仍保持频率不变，且两变量为正交分量）。由此启发人们利用这样的变换/反变换结果来获取除了基波成分之外的其它畸变分量。应注意到，虽然上述对电压的3/2变换代入到瞬时功率表达式中，可以得到与2/2变换同样的结果。但在实际应用时却属两种检测算法。例如，它们的低通滤波器设计参数不同；由于d-q坐标系是以旋转的，它与轴的夹角是随时间变化的，还需从系统电压提取同步相位信息。另外，当考虑电压畸变时，2/2变换仍是准确的。1