古代趣题(一)远望巍巍塔七层,红光点点倍加增;共灯三百八十一,请问各层几盏灯?【解说】这是明代数学家程大位编写的一道著名诗题。题目的意思可以是:有一座高大雄伟的宝塔,共有七层。每层都挂着红红的大灯笼。各层的盏数虽然不知道是多少,但知道从上到下的第二层开始,每层盏数都是上一层盏数的2倍,并知道总共有灯381盏。问:这个宝塔每层各有多少盏灯?显然,这宝塔的灯是上少下多的。现在设从上到下的第一层(最上层)的盏数为1,则第二层至第七层(在地面的一层)的盏数就分别是1×2=2,2×2=4,4×2=8,8×2=16,16×2=32,32×2=64。总的份数就是(1+2+4+8+16+32+64)=127份,故每一份的盏数(即最上层的盏数)是381÷(1+2+4+8+16+32+64)=381÷127=3(盏)从上到下的第二层盏数是3×2=6(盏);第三层盏数是6×2=12(盏);第四层盏数是12×2=24(盏);第五层盏数是24×2=48(盏);第六层盏数是48×2=96(盏);第七层(地面上的一层)盏数是96×2=192(盏)。(答略)(二)三百七十八里关,初行健步不为难;此后脚痛递减半,六朝才能到边关。请君仔细算一算,每日里数各若干?【解说】这是一道在我国民间广泛流传的著名数诗算题,在题目中,“六朝”即“6日”的意思。诗题的意思可以作如下的叙述:从某地到某一边关的路程为378里,某人第一天行了若干里。他自第二日开始,每天行的路程都是前一天路程数的一半。这样经过了6日,他才到达目的地。他每天行的路程各是多少里?解答时,我们可以假定第六天行的里数为“1份”,那么,其他天数所行里数便是第五天――1×2=2(份)第四天――2×2=4(份)第三天――4×2=8(份)第二天――8×2=16(份)第一天――16×2=32(份)这六天行程的总份数就是1+2+4+8+16+32=63(份)因为六天行的总路程数为378里,而这路程已经分成了63份,所以每一份的里数便是378÷63=6(里)于是,每天行的里数就是第一天:6×32=192(里);第二天:6×16=96(里);第三天:6×8=48(里);第四天:6×4=24(里);第五天:6×2=12(里);(三)一百馒头一百僧,大僧三个更无增;小僧三人分一个,大小和尚各几丁?【解说】明代大数学家程大位著的《算法统宗》中记载的。意思是把100个馒头分给100个和尚。大和尚每人分3个馒头,小和尚三人分得1个馒头,大和尚、小和尚各有多少人?方法一:这题可用假设法求解。现假设大和尚100个,(3×100-100)÷(3-1÷3)=75(人)…………小和尚人数100-75=25(人)大和尚人数方法二:把一个大和尚和一个小和尚当成一组,100÷(3+1)=100÷4=25(组)这25也就是大和尚的人数,再用总人数100减去大和尚人数25,100-25=75(人)得到小和尚有75人。(四)有个学生资性好,一部《孟子》三日了,每日字数翻一倍,问君每日读多少。(《孟子》全书34685字)、【解说】这也是明代数学家程大位编写的一道诗题,记录在他的名著《算法统宗》上。这一诗题的意思是:有一个读书人的记忆力很强,《孟子》这部古籍他只用3天就读熟了。从第二天起,他每日记熟的字数都是前一天的2倍,问:这三天他每天熟记的字数是多少?解答时,可设第三天读熟的字数为单位1,则第二天读熟的为12,第三天为14。所以第三天读熟的字数是34685÷(1+12+14)=19820(字)第二天读熟的是19820÷2=9910(字);第三天读熟的是9910÷2=4955(字)。(五)百羊问题。甲赶羊群逐草茂,乙拽一羊随其后,戏问甲及一百否?甲云所说无差谬,所得这般一群凑,再添半群小半群,得你一只来方凑,玄机奥妙谁猜透?【解说】此题的意思是:一个牧羊人赶着一群羊去寻找青草茂盛的地方。有一个牵着一只羊的人从后面跟来,并问牧羊人:“你的这群羊有100只吗?”牧羊人说:“如果我再有这样一群羊,加上这群羊的一半又1/4群,连同你这一只羊,就刚好满100只。”谁能用巧妙的方法求出这群羊有多少只?此题的解是:(100-1)÷(1+1+12+14)=36只