高等数学课件 积分学

第1页（共9页）第三讲积分学一、不定积分1）原函数与不定积分的概念2）不定积分计算方法：积分的基本公式及性质、分项积分法、两类换元法、分部积分法、几类特殊函数的积分法（有理函数、三角有理函数、简单无理函数）例1：计算dxxx251。解：原式Cxxxxx2522322212411581341注：不定积分是导数的逆运算，要充分利用导数计算找原函数。例2：证明：若022bca，则22222121112211coscossin2sincossinukduBukduAdxxcxxbxaxbxa其中BA,为待定系数，21,是方程0cbba不相等的实根，2,1,1,cossiniakxbxauiiii。证明：因为xcxxbxa22coscossin2siniiixcxxbxa22coscossin2siniiiiiixacxxabxaa222coscossin2sin1iiiixbxxabxaa2222coscossin2sin12,1,cossin122iukxbxaaiiiiii设xbxaBxbxaAxbxasincossincoscossin2111（1）则有1121,abBbAbBaAa，当取第2页（共9页）11121211121,1ababBababA时，（1）式恒成立，因此有22222121112211coscossin2sincossinukduBukduAdxxcxxbxaxbxa二、定积分1）定积分的概念和性质2）微积分基本公式：aFbFdxxfba，其中xfxF3）定积分计算方法：利用定义计算、利用微积分基本公式、分项积分法、换元法、分部积分法、一些间接计算公式。1、aaadxxfxfdxxf02、babadxxbafdxxf3、如果xf关于直线ax对称，则有aaadxxfdxxf024、如果xf关于点0,a对称，则有0aadxxf5、是偶数是奇数nnnnnnnnnnxdxxdxnn22123132231cossin20206、2022sin4cossinxdxxdxxdxnaanaan7、421102102dxxxdxx例3：计算阿桑积分02cos21lndxaxa，其中1a。解：因为01cos2122aaxa，所以2cos21axa是连续函数，即02cos21lndxaxa一定存在。ninaniandxaxa1202cos21lnlimcos21ln第3页（共9页）1122cos211lnlimninaniaan111lnlim222nnaaan（1）当1a时，0cos21ln02dxaxa（2）当1a时，111lnlimcos21ln22202nnaaandxaxaaaaaanannnln2111lnlimln22222。注：这里利用了复数开方公式得：120222sin22cos1nknnkinkaa1122cos211nianiaa4）反常积分（广义积分）反常函数审敛法：（1）设xf在区间),[a上连续，且0xf，如果函数xadttfxF是在区间),[a上的有界函数，则adxxf收敛；（2）设xgxf,在区间),[a上连续，且),[,0axxfxg，则有，adxxf收敛可得adxxg收敛；adxxg发散可得adxxf发散。（3）设xgxf,在区间),[a上连续，cxgxfxgxfxlim,0,0，则有如果,0c，则有adxxf和adxxg同敛散；如果0c，则有adxxg收敛可得adxxf收敛；如果c，则有adxxg发散可得adxxf发散。（4）如果adxxf收敛，则adxxf收敛（绝对收敛）。例4：判别下列反常积分敛散性（1）024cos1xxdx（2）022cos1xxxdx第4页（共9页）解：（1）0124024cos1cos1nnnxxdxxxdx024124124cos1cos1cos10xndxxndxxxdxnnnn4422420240241tan1tantan1tantan1tannxnxdxnxdxnxd因为0441nn收敛，所以024cos1xxdx。（2）因为01cos1222xxxxx，021xxdx发散，所以022cos1xxxdx发散。5）定积分的应用：计算平面图形面积、计算立体体积、计算弧长、计算连续函数平均值公式badxxfab1。三、重积分（二重积分、三重积分）1）重积分的概念和性质2）重积分的计算方法：二重积分：直角坐标系下计算法、极坐标计算法、换元法DDdudvvyuyvxuxvuyvuxfdxdyyxf,,,,注意对称性的运用；三重积分：投影法、切片法、球面坐标计算法、柱面坐标计算法、换元法dudvdwwzvzuzwyvyuywxvxuxwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxf,,,,,,,,,,注意对称性的运用。3）重积分的应用曲面Dyxyxfz,,,的面积为Ddxdyyzxz221、物体质心、转动惯量、引力。四、两类曲线积分1）曲线积分的概念和性质2）曲线积分的计算法：注意对称性的运用。3）格林公式：设yxQyxP,,,在D上有连续偏导数，则有第5页（共9页）DDdxdyyPxQQdxPdx4）第二型曲线积分与路径无关五、两类曲面积分1）两类曲面积分的概念和性质2）两类曲面积分计算法：注意曲面在对应坐标面的投影，及两类曲面的联系。3）高斯公式和斯托克斯公式例5：证明：若xf在区间1,0上有连续二阶导数，则2011lim1010ffnkfndxxfnnkn证明：因为xf在区间1,0上连续，由最大值最小值定理，存在c是xf在区间1,0上的最大值。利用泰勒公式有2211nfnnkfnkfnkfknfnkfnkfnnkfk21其中k在nknk,1之间，1,,2,1,0nk，因此我们有102102104201lim421lim2limnkknnkknnknnfffnfnkfnkfnnkf又因为04lim4lim4lim102102ncncnfnnknnkkn所以有2012lim10ffnnkfnkn1011010lim1limnknknknnkndxnkfxfnnkfndxxfn10122limnknknkkndxnkxfnkxnkfn第6页（共9页）10121022limnknknkknkndxnkxfnnnkf由于101210122lim2limnknknknnknknkkndxncndxnkxfn02lim2lim202ncncnnkn因此我们有2012lim1lim101010ffnnkfnkfndxxfnnknnkn例6：证明：若函数xf在区间a,0上单调，且apdxxfx0存在，则有0lim10xfxpx证明：无妨设xf单调递增，取ay,02则有1121112ln1122pyfyppyfdxxyfdxxfxppyypyyp111212ln1122pyfyppyfdxxyfdxxfxppyypyyp因为apdxxfx0存在，所以0lim,0lim2020yypyyypydxxfxdxxfx。当1p时有dxxfxyfdxxfxyypyyp222ln12ln1当1p时有dxxfxpyfydxxfxpyypppyypp211211212111第7页（共9页）由夹逼准则可得0lim10xfxpx。例7：已知空间中的点1,1,0,0,0,1BA，线段AB绕z轴旋转为，求与平面1,0zz所围成立体的体积V。解：线段AB的方程为101ttztytx，曲面的方程为22221yxzz32321221023102zzzdzzzdvV。例8：设函数yxf,在区域1:22yxD内有二阶连续偏导数，且222222yxeyfxf，证明：edxdyyfyxfxD2证明：利用极坐标可得1020sincosrdryfrxfrddxdyyfyxfxD改变积分次序后可得2010sincosdyfrxfrrdrdxdyyfyxfxD设rL是圆222ryx并取正方向，rD是rL围成的圆盘，由关于坐标的基本计算方法和格林公式可得rrDLdxdyyfxfdyxfdxyfdyfrxfr222220sincos22221020rrDyxededdxdyer所以我们有10212edrerdxdyyfyxf