大学复变函数课件-洛朗级数

第五章洛朗级数第一节洛朗展式双边幂级数设级数nnnnnazcazccazc100（1）它在收敛圆Raz)0(R内绝对且内闭一致收敛到解析函数zf1；考虑函数项级数nnazcazc11（2）作代换az1则（2）即为nncc1，它在收敛圆rr101内绝对且内闭一致收敛到解析函数zf2，从而（2）在区域rraz0内绝对且内闭一致收敛到解析函数zf2；当且仅当Rr时，（1）（2）有共同的收敛区域RrRazrH0:，此时，称0nnnazc为双边幂级数。关于双边幂级数的性质，见p185定理1.5定理1（洛朗定理）设函数f(z)在圆环：)0(||:RrRazrH内解析，那么在H内,)()(nnnazczf其中，,...)2,1,0(,)()(211ndaficnn是圆,||az是一个满足Rr的任何数，并且展式是唯一的。证明：Hz，作圆周11:az和22:az使z含于圆环21':azH内，于是zf在圆环'H内解析。由柯西积分公式dzfizf1221nnnazcdzfi0221，其中daficnn2121,1,1,0n现考虑dzfidzfi112121azaazfzf11而沿1，1aza，nnazaaza011（在1上一致收敛）由于函数zf沿1有界，所以nnnazaazfzf001112121nnndafiazdzfidafiaznnn11121故当Hz：nnnazczf，其中daficnn121,1,0n展式的唯一性：设nnnazczf'任意取某正整数m，在上有界，nmnnmazcazzf1'1nmmnnmcidzazcdzazzf'1'12dzazzficmm1'21,1,0m，故,1,0'nccnn，展式唯一。注解：我们称00)(nnnzz为f(z)的解析部分，而称10)(nnnzz为其主要部分。例1、求函数)2)(1(1zz分别在圆环1|z|2及||2z内的洛朗级数式。解：如果1|z|2，那么,1|1|,1|2|zz利用当1||时的幂级数展式......1112n我们得1121)2)(1(1zzzz;12)11(1)21(21101nnnnnzzzzz如果||2z，那么,1|1|,1|2|zz同样，我们有1121)2)(1(1zzzz.1212)11(1)21(121111nnnnnnnnzzzzzzz例2、2sinzz及zzsin在||0z内的洛朗级数展式是：...)!12()1(...!5!31sin1232nzzzzzznn...)!12()1(...!5!31sin242nzzzzznn例3、ze1在||0z内的洛朗级数展式是：...1!1...1!211121nzznzze。例4、求函数)3)(1(12zz在圆环1|z|3内的洛朗级数展式。解：由于1|z|3，那么,1|3|,1|1|zz利用当1||时的幂级数展式......1112n我们得)1331(81)3)(1(122zzzzz)13131(8122zzzz，而;331)31(31310nnnzzz;11)11(111022222nnzzzzz所以，有).313(81)3)(1(1002212012nnnnnnnzzzzz第二节解析函数的孤立奇点1．解析函数的孤立奇点的定义设函数f(z)在去掉圆心的圆盘)0(||0:0RRzzD内确定并且解析，那么我们称0z为f(z)的孤立奇点。在D内，f(z)有洛朗展式,)()(0nnnzzzf其中,...)2,1,0(,)()(2110CnnndzfiC是圆)0(||0Rzz。例如，0是zezzzz12,sin,sin的孤立奇点。一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式中含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：⑴如果zf在0z的主要部分为0，那么我们说0z是f(z)的可去奇点，这时因为令00)(zf，就得到在整个圆盘Rzz||0内的解析函数f(z)；⑵如果zf在0z的主要部分是有限多项：1,0010mzzzzmmm我们称0z是f(z)的m阶极点；⑶如果zf在0z的主要部分是无限多项，我们称0z是f(z)的本性奇点。例如，0分别是zezzzz12,sin,sin的可去奇点、单极点及本性奇点。2．孤立奇点的判定定理10z是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：0)(lim0zfzz，其中0是一个复数。证明：（必要性）。由假设，在Rzz||00内，f(z)有洛朗级数展式：...)(...)()(0010nnzzzzzf因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在Rzz||0内解析，于是显然存在着0)(lim0zfzz。（充分性）。设在Rzz||00内，f(z)的洛朗级数展式是,)()(0nnnzzzf由假设，存在着两个正数M及)(0R，使得在00||0zz内，,|)(|Mzf那么取，使得00，我们有,...)2,1,0(221||1nMMnnn当n=-1,-2,-3,…时，在上式中令趋近于0，就得到,...)3,2,1(0nn。于是0z是f(z)的可去奇点。推论10z是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数)(0R，使得f(z)在00||0zz内有界。下面研究极点的特征。设函数f(z)在Rzz||00内解析，0z是f(z)的)1(m阶极点，那么在Rzz||00内，f(z)有洛朗展式：...)(...)(...)()()(0010011010nnmmmmzzzzzzzzzzzf在这里0m则mmmzzzzzzzf0010101在这里0011)(mzzzm是一个在Rzz||0内解析的函数，并且0)(0z。反之，如果函数f(z)在Rzz||00内可以表示成为上面的形状，而)(z是一个在Rzz||0内解析的函数，并且0)(0z，那么可以推出0z是f(z)的m阶极点。定理20z是f(z)的极点的必要与充分条件是：)(lim0zfzz。证明：必要性是显然的，我们只证明充分性。在定理的假设下，存在着某个正数)(0R，使得在00||0zz内，0)(zf，于是)(1)(zfzF在00||0zz内解析，不等于零，而且0)(1lim)(lim00zfzFzzzz。因此0z是F(z)的一个可去奇点，从而在00||0zz内，有洛朗级数展式：...)(...)()(0010nnzzzzzF我们有0)(lim00zFzz。由于在00||0zz内，0)(zF，可以设0,0...110mm。由此得)()()(0zzzzFm，其中)(z在00||zz内解析，并且不等于零)0)((0mz。于是在00||0zz内，)()(1)(0zzzzfm，在这里，zz1在00||zz内解析，)0)()((10mmz。因此0z是f(z)的m阶极点。推论2设函数f(z)在)0(||0:0RRzzD内解析，那么0z是f(z)的m阶极点的必要与充分条件是：mmzzzfzz)()(lim00，在这里m是一个正整数，m是一个不等于0的复数。关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论：定理30z是f(z)的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限)(lim0zfzz。例：0是函数ze1的本性奇点，不难看出zze10lim不存在。解：当z沿正实轴趋近于0时，ze1趋近于；当z沿负实轴趋近于0时，ze1趋近于0；当z沿虚轴趋近于0时，ze1没有极限。第三节解析函数在无穷远点的性质1．解析函数在无穷远点的性质设函数f(z)在区域||zR内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：,)(nnnzzf其中系数由定理5.1中类似的公式确定。令wz1，按照R0或R=0，我们得到在Rw1||0或||0w内解析的函数)1()(wfw，其洛朗级数展式是：,)(nnnwz如果w=0是)(w的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点，那么分别说z是f(z)的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。因此（1）如果当时n=1,2,3,…，0n，那么z是f(z)的可去奇点。（2）如果只有有限个（至少一个）整数n，使得0n，那么z是f(z)的极点。设对于正整数m，0m，而当nm时，0n，那么我们称z是f(z)的m阶极点。（3）如果有无限个整数n0，使得0n，那么我们说z是f(z)的本性奇点。注解1若z为f(z)的可去奇点，我们也说f(z)在无穷远点解析；注解2上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形，我们综合如下：定理1设函数f(z)在区域zR内解析，那么Z是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：存在着极限、无穷极限zfzlim或不存在有限或无穷的极限zfzlim。推论设函数f(z)在区域zR内解析，那么z是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数R0，使得f(z)在00zz内有界。第四节整函数与亚纯函数1．整函数的分类如果f(z)在有限复平面C上解析，则0nnnazczfz那么它就称为一个整函数。显然无穷远点是整函数在扩充复平面上唯一的孤立奇点。我们按孤立奇点的类型，可以将整函数分类：定理1设zf为整函数⑴为zf的可去奇点0czf（常数）；⑵为zf的m阶极点mmzczcczf100mc即m次多项式；⑶为zf的本性奇点无穷多个nc不等于0（此时称zf为超越整函数）例如：ze；zsin；zcos2．亚纯函数的定义与性质如果函数f(z)在有限平面上除去有极点外，无其他类型的奇点那么称它为一个亚纯函数。亚纯函数是整函数的推广，