电子的准经典运动

1§5-5电子的准经典运动前面给出了晶体中电子的能量本征值及相应的本征态，这是研究晶体中电子运动的基础。例如，当给出电子的能量本征值，我们便可以了解晶体中电子系统的统计性质。又如，当我们研究晶体的光吸收和电子散射问题时，也都需要先了解电子的本征值和本征态。但是，并非所有关于电子运动的问题都必须应用量子力学方法来处理，晶体中许多电子运动问题是可以近似当作经典运动来处理的。例如，在电、磁场中晶体的输运问题就属于这一类型。本节讨论的中心是在一定条件下，将晶体中电子当作经典粒子处理的方法。5.5.1准经典近似当我们讨论外场作用下晶体电子的运动规律时，我们首先要知道电子在任意波矢k状态的平均运动速度，根据量子力学，电子在晶体中平均速度为：**[]2kkkkvdm………………………………………………………………………（5-5-1）其中k是描述k态的电子波函数，它具有布洛赫函数形式，经过较复杂的计算，可以证明k态电子的平均速度为：1kvEkk………………………………………………………………………………………（5-5-2）因此，对于晶体中的电子，我们无需严格地根据量子力学方法，而只要已知E(k)函数，就可得到电子在晶体中运动的平均速度。应当指出，上述结论并不是偶然的，因为一定的条件下，晶体中的电子可以近似当作经典粒子来处理，量子力学告诉我们，晶体中处于0k状态的电子，在经典近似下其平均速度相当于以0k为中心的由布洛赫波组成的波包的速度。5.5.2波包与电子平均速度讨论一维情况，设波包是由以0k为中心，波矢范围为Δk的布洛赫波组成。仅当2ak时，才能把电子看做准经典粒子（后面将给出证明）。在这个条件下，描写波包的函数为：00000()()2222,()()kkkkikxtikxtkkkkkkxtuxedkuxedk………………………………………（5-5-3）作变数变换，令0kk，则00()kkddk……………………………………………………………………………………（5-5-4）于是得到：0000()sin[()]2,()1[()]2kikxtkkkdxtdkxtuxedxtdk………………………………………………………（5-5-5）该波包所描写的粒子的几率分布为：20002222sin[()]2,()[()]2kkkkdxtdkxtuxkkdxtdk………………………………………………（5-5-6）如图5-5-1所示。由此可见，波包中心位于：0kdtdkx=…………………………………………………………………………………………（5-5-7）上式表明，若把波包看作一个准经典粒子，则其运动速度为：0001()kkddEvkdkdk………………………………………………………………………（5-5-8）我们再来看看能把波包看成准粒子的条件是什么？一个布里渊区内包含所有的状态k，而由于布洛赫波存在色散，一个稳定的波包所包含的波矢范围必须是一个很小的量，若把Δk大小与布里渊区的线度相比较，显然应有：2ka…………………………………………………………………………………………（5-5-9）另一方面，由式（5-5-6）或图5-5-1可见，波包在空间集中在22xkk……………………………………………………………………………………（5-5-10）范围内。通常用Δx表示波包的大小。因此，由式（5-5-9）可知，应有：Δxa。也就是说，如果波包大小比原胞的线度大得多，则晶体中电子的运动可以用波包运动的规律来描述，即波包中心的速度等于粒子处于波包中心那个状态所具有的平均速度。例如，在输运过程中，只有当自由程远远大于原胞线度的情况下，才可以把电子看作是一个准经典运动的粒子。图5-5-2(a)和(b)分别给出E(k)，v(k)在简约布里渊区内作为k的函数曲线。可见，在能带底的能带顶处，即E(k)的极值点处，电子速度为零，而在220dEdk处电子速度的数值最大。这种情况与自由粒子速度随能量E单调增大是显然不同的。将上述结果推广到三维情况为：1Ekv…………………………………………………………………………………………（5-5-11）图5-5-1（6-20）描述电子准经典运动的波包35.5.3外力作用下电子状态的变化晶体中的电子在外力作用下其状态是怎样变化的？当将电子看作准经典粒子时，这个问题是不难用经典力学方法解决的。根据功能原理，在外力F作用下，单位时间内电子能量的增加应为：dEdtFv………………………………………………………………………………………（5-5-12）由于电子能量E取决于状态波矢k，因而在外力作用下，电子的波矢k必然发生相应的变化，并由此引起电子能量的变化，即：()dEdEdkdkvdtdkdtdt…………………………………………………………………………（5-5-13）比较（5-5-12）和（5-5-13）式，得到：()dkFdt………………………………………………………………………………………（5-5-14）式（5-5-14）即为外力作用时，电子状态变化的基本方程。它和牛顿定律具有相似的形式，只是以ħk代替了经典力学中粒子的动量，故称ħk为电子的准动量。在电子的准经典运动以及其它一些物理过程中，ħk具有动量的性质。在三维情况下，当有外电场外E和磁场B存在时，()e外FEvB……………………………………………………………………………（5-5-15）因而有：()()dedt外kEvB……………………………………………………………………（5-5-16）5.5.4晶体中电子的有效质量晶体中电子在外力作用下的加速度可根据式（5-5-8）式来求：11()()dvddEddEdtdtdkdkdt……………………………………………………………………（5-5-17）由（5-5-12）式有：1dEdEFvFdtdk………………………………………………………………………………（5-5-18）于是有：222211()dvddEdEFFdtdkdkdk……………………………………………………………………（5-5-19）我们可以定义：2*2211dEmdk…………………………………………………………………………………………（5-5-20）这是由E~k函数的二阶导数决定的，称为晶体中电子的有效质量。将（5-5-20）代入(5-5-19)式，则（5-5-19）式的形式可以写成与牛顿定律相似的形式：*1dvFdtm4可以表明，有效质量*m是晶体中电子对外力F的影响。晶体中的电子同时受到外力F和内部相互作用力lF的综合作用，即1()lddtmvFF………………………………………………………………………………（5-5-21）引入*m，则有*1ddtmvF…………………………………………………………………………………（5-5-22）也就是说，*mmlFFF…………………………………………………………………………（5-5-23）显然，外力与加速度的关系不是由电子的惯性质量所联系的，而必须引入有效质量的概念，它包括了内力的作用，即m*包含了晶格周期场的作用，晶体中的电子对外力的响应，好比具有质量为m*的自由电子。对于三维情况，经过类似的推导可以得到21dEdtkkvF………………………………………………………………（5-5-24）将上式写成张量形式为2222222*22222211xxxyxzxyyyxyyzzzzxzyzEEEdvkkkkkdtFdvdEEEFdtdtmkkkkkFdvEEEdtkkkkkvF………………………………（5-5-25）与牛顿定律相比，现在以一个张量代替了1/m，我们称其为有效质量倒易张量（1/m*），如选坐标轴沿张量的主轴方向，则只有α=β的分量不为0，这时有2222222222*2222222222001110000xxyxzxyxyyzyzxzyzzEEEEkkkkkkEEEEmkkkkkkEEEEkkkkkk……………………………（5-5-26）可以简写为：2*211(),(,,,)ijijEijxyzmkk………………………………………………………………（5-5-27）若选,,xyzkkk为张量主轴，其中520,()0()Ekk。…………………………………………………………………………（5-5-28）所以在主轴坐标系中可以定义有效质量张量为：222*2**22*222000000xxyyzzEkmEmmkmEk…………………………………………（5-5-29）由式（5-5-29）可见，有效质量不是一个常数，是波矢k的函数（如图5-5-2（c）所示），而且是一个张量，***,,xyzmmm可以不相等；有效质量不仅可以取正值，也可取负值。应该指出，能带底和能带顶为E(k)函数的极小和极大，分别具有正值和负值的二级微商。因此，在一个能带底附近，有效质量总是正的；而在一个能带顶附近，有效质量总是负的。例如，对于立方对称的晶体，其x，y，z轴是完全等价的，有效质量的主轴就是x，y，z轴，则对于紧束缚近似所得到的简立方晶格情况，其能带函数E(k)如式（5-4-18）所示，不难证明，221*2**21*221002cos002cos002cosxxyyzzaJkammmaJkamaJka………………………………（5-5-30）则在能带底k=0处，电子的有效质量为：22*2211100010022001maJaJ…………………………………………………………………（5-5-31）而在能带顶(/,/,/)aaak处，则有：22*2211100010022001maJaJ……………………………………………………………（5-5-32）