奔驰定理

DOABC奔驰定理一、奔驰定理（以奔驰标志而有名）：已知O是ABC内的一点，AOBAOCBOC,,的面积分别为AS，BS，CS，求证：0OCSOBSOASCBA如图，延长OA与BC边相交于点D则BCCODACDBODABDCODBODACDBDSSDCBDSSSSSSSSAODBCDCOBBCBDOCCBBSSSOBCBCSSSOCCBACOABOACODBODCOACODBOABODSSSSSSSSSSSOAOD（合比）CBASSSODOACBASSSOACBBSSSOBCBCSSSOC0OCSOBSOASCBA推论:O是ABC内的一点，且0OCOBOAzyx，则zyxSSSAOBCOABOC::::二、奔驰定理与三角形的心1．O是ABC的重心1:1:1::AOBCOABOCSSS0OCOBOA2．O是ABC的内心cbaSSSAOBCOABOC::::0OCOBOAcba3．O是ABC的外心CBASSSAOBCOABOC2sin:2sin:2sin::02sin2sin2sinOCCOBBOAA4．O是ABC的垂心CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan::0tantantanOCCOBBOAAOCABD证明：如图O为三角形的垂心，DBCDBADCDAtan,tanADDBBA:tan:tanCOABOCSS:ADDB:BASSCOABOCtan:tan:同理得CBSSAOBCOAtan:tan:，CASSAOBBOCtan:tan:CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan::练习：1．已知ABC三个顶点CBA、、及平面内一点P，满足0PCPBPA，若实数满足：APACAB，则的值为（）A．2B．23C．3D．62．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，0OCOBOA，则OBOA()A．21B．0C．1D．213．点O在ABC内部且满足022OCOBOA，则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（）A．0B．23C．45D．344．ABC的外接圆的圆心为O，若OCOBOAOH，则H是ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，若222OBBCOA222ABOCCA，则O是ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心6．ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数m的值为（）A．21B．-1C．1D．217．已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8．已知ABC三个顶点CBA、、，若CABCCBABACABAB2，则ABC为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形9.(19清华标准能力测试)已知O是ABC内一点，220OAOBOC，则OBCABCSS=___10.(18清华领军计划)已知O是ABC内一点，::4:3:2,AOBBOCCOASSS设,AOABAC则__.__11.(19山东联赛)已知O是ABC内一点，11,34AOABAC则OABOBCSS=___12.已知ABC满足3,4cb,O是外心，且1,2AOABAC则ABC的面积____参考答案：C、D、C、D、D、、D、C1243379.,10.,11.,12.25,59952或