第3-2章物流系统规划(二)

3物流分配规划任务分配问题的数学模型（重点）用匈牙利法求解分配问题（自学）一.任务分配问题1.简介在物流系统中经常面临的一个问题：如何根据有限的资源(人力、物力、财力等)，进行工作任务分配，以达到降低成本或提高经济效益的目的。如：运输任务的分配问题。有n条航线的运输任务指派给n艘船去完成，不同的船完成不同的航线其运输成本不同。要求每条船完成一条航线，并且一条航线只能由一条船去完成。如何分配任务，才能使总的费用最小？又如：有A、B、C、D四门课程，上课的老师可以从甲、乙、丙、丁四名老师中选择，不同的老师上不同的课程，其费用是不同的，并且规定，每人只讲一门课程，每门课程只需要一人讲授。问：如何安排，才能使总的上课费用最低？这类问题是常见的任务分配问题，也叫指派问题，它的任务是如何进行合理的任务分配，使总的费用最小。2.任务分配问题的数学模型以运输问题的n项任务由n个司机去完成的情况为例：有n个司机被分配完成n项运输任务，不同的司机完成某一项任务的费用都不一样。要求每个司机完成其中一项任务，每个任务只能由一名司机完成，如何分配任务，才能使总的费用最小？1011..1111或ijniijnjijninjijijxxxtsxcMinZ令：cij表示第i个司机完成第j项任务的运输成本（工作成本或工作时间等价值系数）；xij表示第i个司机去完成第j项任务，其值为1或0。当其值为1时表示第i个司机被分配去完成第j项任务；其值为0时，表示第i个司机不被分配去完成第j项任务。3.任务分配问题数学模型的求解任务分配问题属于整数规划问题，其变量xij的取值为整数。（本例为0或1）。任务分配问题可以用一般的整数规划求解方法进行求解。但是，整数规划问题的求解也是非常困难的，到目前为止，还缺乏统一的求解方法。本书采用匈牙利法求解任务分配问题。二.匈牙利法求解分配问题可以证明，对于分配问题，在其费用矩阵Cij中，各行、各列均减去一个常数，Cij改变以后的最优解，仍为原问题的最优解。利用这个性质，通过对Cij的行、列进行加减常数的计算，把一些矩阵元素变为0，在Cij为0的元素上进行分配，就可得到原问题的最优解。该方法应用了匈牙利数学家Konig矩阵性质定理，因此这种方法被称为匈牙利法。4其他规划问题选址问题货物配装问题物流服务系统中的配置问题一.选址问题简介物流调运规划问题，是一种有固定发点、固定收点和固定道路的运输规划问题。还有一类运输问题，他的收货点和发货点是待定的，这就是选址问题。这类问题在物流系统规划中经常遇到。选址问题要考虑多种因素，本节只讨论选址问题中的物流问题。分为两个问题：单一地址选址方法；图上作业法。1.单一地址选址方法单一选址问题：就是从多个候选地址中选取一个最优地址。（1）问题描述假设地址候选地点有s个，分别用D1,D2,…,Ds表示；原材料、燃料、零配件的供应地有m个，分别用A1,A2,…,Am表示，其供应量分别用P1,P2,…,Pm表示；产品销售地有n个，分别用B1,B2,…,Bn表示，其销售量分别为Q1,Q2,…,Qn表示。（2）参数及变量说明设cij为供应地Ai到候选厂址Dj的单位物资运输成本；djk为候选厂址Dj到销售地Bk的单位物资运输成本；设：选址变量为x=(x1,x2,…,xs)，其中：xj=0或1，1表示在Dj点建厂，0表示不在Dj点建厂。011minDBDDc运输DA1111111111jkj1jji或以表示为：选址问题的数学模型可为：所有候选地的运输成本的运输成本为：所有供应点、销售点到费用为：到所有的销售地的运输候选地的运输费用为：到销售地从候选地的运输费用为：所有的供应点到候选地费用为：点的到候选地从供应点jsjjjsjnkkjkmiiijsjnkjkjkmijiijnkjkjkmijiijjnkjkjkjkjkmijiijjiijxxs.t.x)QdPc(Z)xQdxPc(xQdxPcDxQdxQdxPcxP（3）目标函数及约束条件单一选址问题是一种线性规划问题,并且变量的取值为0或1，属于整数规划问题。单一地址的选址模型的求解方法比较简单．从目标函数表达式的右边可以看出：通过计算模型中括号内的算式值，就能够确定运输成本最小的方案。当要选定的地址不是单一的，而是多个时，问题不再属于线性规划问题。（5）求解方法jsjnkkjkmiiijx)QdPc(Z111min2.图上作业法对于运输路线不含回路的选址问题，可用图上作业法求解。例题8假定有六个矿井．产量分别为5000吨、6000吨、7000吨、2000吨、4000吨和3000吨，运输路线如图所示，这些矿石要经过加工后才能转运到其他地方。这些矿井之间道路不含回路，欲选择一个矿井，在此矿井上建立一个加工厂，使各矿井到工厂的运输总费用最低。为了便于分析，用一个新的图来代替原图，新图圈内数字表示矿井编号，产量记在圈的旁边，道路交叉点看作产量为零的矿井，把那些只有一条道路连接的矿井称为端点。首先计算这些矿井的总产量，本例为27000吨。然后分析各端点，都没有超过总产量的一半，因此把各端点的数量合并到前一站，即①和②的数量合并到③；把④的数量合并到⑤；把⑦的数量合并到⑥，如下图所示。3561100090007000各端点都合并到前一站后，③和⑥变成了图中的端点。对它们进行分析,其数量都不超过总产量的一半，所以他们也不是最佳点。再把它们合并到前一站，即把③和⑥的数量合并到⑤。则⑤的数量为27000，超过总量的一半，所以⑤是最佳点。结论：加工厂应建在第5号矿井。二.货物配装货物配装的目的是在车辆载重量为额定值的情况下，合理进行货物的安排，使车辆装载货物的价值最大（如：重量最大、运费最低等）。1.装货问题的数学模型（1）问题描述设货车的载重量上限为G，用于运送n种不同的货物，货物的重量分别为W1，W2，...，Wn，每一种货物对应于一个价值系数，分别用P1，P2，...，Pn表示，它表示价值、运费或重量等。（2）数学模型设Xk表示第k种货物的装入数量，货物配装问题的数学模型可以表示为：),...,1(0..)(max11nkXGXWtsXPxfkknkknkkk（3）求解方法可以把装入一件货物作为一个阶段，把装货问题看作动态规划问题。一般情况下，动态规划问题的求解过程是从最后一个阶段开始由后向前进行的。由于装入货物的先后次序不影响装货问题的最优解。可以从第一阶段开始，由前向后逐步进行。（4）求解过程1）装入第1种货物X1件，其最大价值为111max)(XPWf其中：X1表示第1种货物的装载数量；其取值范围：0X1[G/W1]，方括号表示取整；P1：第1种货物的价值系数（重量、运费、价值等）；f1(W)：第一种货物的价值。2)装入第2种货物X2件，其最大价值为其中：X2表示第2种货物的装载数量；其取值范围：0X2[G/W2]；P2：第2种货物的价值系数（重量、运费、价值等）；：第一种货物的重量；：第一种货物的价值。3）装入第3种货物X3件，其最大价值为其中：X3表示第3种货物的装载数量；其取值范围：0X3[G/W3]；P3：第3种货物的价值系数；：前两种货物的重量；：前两种货物的价值。)(max)(221222XWWfXPwf22XWW)(221XWWf)(max)(332333XWWfXPwf33XWW)(332XWWf……n)装入第n种货物Xn件，其最大价值为其中：Xn表示第n种货物的装载数量；其取值范围：0Xn[G/Wn]；Pn：第n种货物的价值系数；)(max)(1nnnnnnXWWfXPwf例题9载重量为8t的载重汽车，运输4种机电产品，产品重量分别为3吨、3吨、4吨、5吨，试问如何配装才能充分利用货车的运载能力?解：第一步，按照前面的公式，分成四个阶段计算每一阶段的价值。计算结果以表格表示如下：（5）货物配装例题求解载重量件数价值(重量)载重量第2种货物的件数第1种货物的重量价值计算价值Max载重量第3种货物的件数第1、2种货物的重量价值计算价值Max第二步：寻找最优方案。寻找最优解方案的次序与计算顺序相反，由第4阶段向第1阶段进行。选择最后一个阶段价值最大的装载情况，逐步向前寻找最优方案。载重量第3种货物的件数第1、2种货物的重量价值计算价值载重量第2种货物的件数第1种货物的重量价值计算价值Max最终的最优装载方案为：第一组：X1=1，X2=0，X3=0，X4=1；第二组：X1=0，X2=1，X3=0，X4=1；第三组：X1=0，X2=0，X3=2，X4=0；以上三组装载方案，都最大限度地发挥了车辆的载重能力，都是最优方案。2.品种混装问题（1）品种混装问题简介在实际的物流过程中，储运仓库(或货运车站)要把客户所需的零担货物组成整车，运往各地。不同客户的货物，要分别在一站或多站卸货。在装货、运输和卸货过程中，为了减少装卸、运输过程中出现差错，一般要按照品种、形状、颜色、规格、到达地点，把货物分为若干类，在装车时分别进行处理。这就是品种混装问题。（2）品种混装问题描述设装车的货物可以分为1类，2类，…，m类。共有N件待运货物。其中：第1类货物有N1件，它们的重量分别G11，G12，……，G1N1；第2类货物有N2件，它们的重量分别为G21，G22，……，G2N2；第s类货物共有Ns件，它们的重量分别为Gs1，Gs2，……，GsNs；以此类推，可以看出：货物总的件数：其中，Ns：第s类货物的件数；m：货物的种类数；N：货物的总件数；msNNmss,....,2,11（3）数学模型品种混装问题要求同一货车内每类货物至多装入一件，在此假设条件下，可以建立品种混装问题的数学模型：设：件货物不装入类第第件货物装入类第第srsrXrs01mrNsrsrsmsrsmrNsrsrsrrGXGmrXtsXGG110111,...,2,11..max其中m：货物的类别数；Nr：第r类货物的件数；Grs：第r类第s件货物的重量；G0：货车载重量的上限。（4）求解方法品种混装问题的数学模型属于整数规划问题，可以用单纯形法进行求解动态规划法图5-20表示8件货物分为4类的混装网络示意图。在图中同一列的方框表示同一类货物，方框内的数字(符号)表示货物重量。上述品种混装问题就是在网络中自右向左寻找一条路线，使路线所经过的方框中的重量之和达到最大，但又不超过货车的载重量的上限Go。可以用穷举法求解。如果将四类货物看作4个阶段，将上述问题化为动态规划问题求解。（5）求解实例例题10货车载重量上限Go＝50；第1类货物2件，G11=20，G12=11；第2类货物1件，G21=13；第3类货物3件，G31＝6，G32＝11，G33＝8；第4类货物2件，G41＝19，G42＝17。19176118132011计算过程见表5-31~34，分成四个阶段进行。可装重量实装重量剩余容量第1阶段的可装容量W值对应第2阶段的剩余容量W-G装载情况计算表可装重量实装重量剩余容量第1阶段的可装容量W值对应第2阶段的剩余容量W-G最优解的寻找过程最后的最优解为：G1=20G2=0G3=11G4=19G1=20G2=13G3=0G4=17每组方案的装载量都是50，达到满载，充分利用了货车的装载能力。三.物流服务系统中的配置问题随机服务系统物流服务系统由服务的机构和顾客组成。物流服务系统是一个综合服务系统，许多服务项目具有随机性质。如：装卸系统、运输系统。物流服务系统中的顾客（人、货物等）到来的时间和服务时间随不同的时机和条件而变化，这种变化具有随机性质，这类系统称为随机服务系统。随机服务系统包含三个过程：顾客输入、排队、服务三个