金融数学引论简化版(利息理论部分)-4-6

1名利率与实利率的关系设一时期的名利率为i(m),与之等价的利率为i，则应有1+i=(1+i(m)/m)m。于是有或11)(mmimi1)1()(mmmii()(1)(1)(1)nnIananiAnan贴现率：)()1()(nAnAnAdn利率：单利:a(t)=1+it；复利：a(t)=(1+i)t；单贴现：a-1(t)=1-dt，(0t1);复贴现：11()11tttatdvi2第二章年金基本年金期末年金期初年金永久年金基本年金问题广义年金变化年金3年金--按相等时间区间支付的一系列付款。两次年金付款之间的间隔称为支付期。支付期的个数称为此年金的期。年金支付的金额称为年金金额.在固定的时期支付确定金额款项的年金称为确定年金。付款不确定的年金称为未定年金或风险年金。付款周期与利息换算周期相同的年金称为基本年金.4§2.1.基本年金2.1.1期末年金在n个时期中，每个时期末付款1的年金为期末标准年金。其时间图为012n1111nt设每个时期的利率为i，则年金在0时刻的现值记为或，在n时刻的累积值记为或。ina|ins|1|na|ns5显然vvvn11ivvviiv11)1(11而故ivivvvannin11|(2.1.1)ninvvva...2|易见:年金金额为R的n期期末年金现值为inRa|6同理|11nniisi(2.1.2)||nnsa与的值一般可通过复利函数表(p299-330)或EXCEL来计算，故以后往往将复杂的年金表示成它们的函数。注1：nnnias)1(||或nnnvsa||注2:nnvia|1字面解释：考虑初始投资1，历时n个时期。每个时期，此投资1将产生在期末支付的利息i.这些利息的现值为ian|.在第n个时期，原始投资的本金1仍收回，它的现值为vn.这样，方程两边都表示投资1在投资之日的现值。12|1...111niniiis年金金额为R的n期期末年金累积值为inRs|例2.1.1一辆新汽车的现金价为$10,000，某顾客想以月度转换18%利率的分期付款来购买此车，如果它在四年内每月末付款$250，问现付款需为多少？解:18%41248,0.015,25012nipmt|481111.01534.040.015nnivai48|0.015$10000250a现付款1490$04.3425010000现付款例2.1.2.某人以季度转换年利8%投资$1000,问他每季度之末能取回多少使这笔钱在第十年末正好用完？解:设每季度之末能取回$x.8%141040,0.02,41.02niv4040|11000vxxai401000$36.561ixv有一笔$1000的贷款，为期10年。若实利率为9%，试对下面三种还款方式比较其利息总量。(1)整个贷款加上累积的利息在第十年末一次还清.(2)每年产生利息即付，而本金则在第十年末一次还清.(3)贷款在10年期内按每年付款数相同的原则还清。解(1)101(10)100010.092367.364,1367.364AI(2)21010000.09900I(3)10|0.09310001000155.82,6.41766155.82101000558.2RaRI10在n个时期中，每个时期初付款1的年金为标准期初年金。其时间图为012n1111nt设每个时期的利率为i，则年金在0时刻的现值记为,在n时刻的累积值记为。ina|ins|1思考：与有何关系？与有何关系？ina|ina|ins|ins|2.1.2期初年金11例2.1.3证明并解释nnnnnnissbvaaa11)1)||||证:从时间图易见,如果在0时刻之前在加上一个时期,则这一系列付款相当于从-1时刻开始的期末年金.于是012n1111nt1|||||1)(1)#nnnnnnvaaaiaaiaii|||||11)(1)#nnnnnnibSSiSSiSii字面解释从时间图易见,付款序列相当于0时刻付款1,再加上每时期末付款1的n期期末年金,减去n时刻的付款1.现值为a),累积值为b)例2.1.4有一位40岁的工人打算通过在25年内每年初存款￥1000来积蓄一笔退休金，从65岁开始，此工人打算在以后的15年内每年初取款一次。试确定他从65岁开始每年取款金额。其中头25年实利率为8%，而此后仅为7%。解:n1=25,R1=1000,i1=8%;n2=15,R2=?,i2=7%;40岁4165岁1000100064岁t1000x25|25|1000(18%)78954.372SS15|7%15|7%78954.37278954.3728101.66xaxa79岁x前25年累积:后15年:EX1某君40岁购买一项养老保险，每年初缴纳保费1620元，缴费期至59岁共20年。从60岁开始，每年初保险公司给付3360元养老金直至该君死亡。i)若此君活到79岁，则此项投资的收益率是多少？ii)若此君活到99岁，则保险公司在这一保险业务上是否合算？(答:i)3.713%;ii)5.3%)EX2某君为其3岁的孩子投保某险种，每年初缴纳保费2105元，缴费期为15年。按年利率4.77%，到15年末此项投资的累积值是多少？若从第16年初开始，每年取出5000元，共取4年，则到第19年末此项投资的累积值又是多少？(答:i)22.22;ii)33856)142.1.4递延年金若年金现金流的首次发生是递延了一段时间以后进行的,则称这种年金为递延年金.012nm11t1m1m从以上时间图易见,递延m期的标准期末年金的现值为或iminmaa||minva|思考:递延m期的标准期末年金在m+n时刻的累积值是什么?15同理,考虑递延m期的标准期初年金012nm11t1m1m现值为iminmiminmaaaa|1|1||1||minminvava1nm或16永久年金是付款永远继续下去，无期限的。例如：无偿还保证的优先股股息。期末永久年金的现值记为ivvvakki111|(2.1.3)公式(2.1.3)可按字面解释，如果将本金按利率i投资，则利息可永远在每一时期末支付，而不去触动本金。i111ii2.1.4永久年金例2.1.5A留下一笔$100000的遗产，这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个十年的利息付给受益人C，此后的均付给慈善事业D。若此项财产的年实利率为7%，试确定B，C，D在此项财产中各得多少份额？解:B所占份额为10|700070007.0236$49165aC所占份额为20|10|7000()7000(10.59407.0236)$24993aaD所占份额为|20|17000()7000(10.5940)$258420.07aa182.1.5基本年金问题未知时间问题包含未知时间的问题不见得正好产生n是整数的解答。这些问题可以有如下三种处理方式(1)在最后一次正规付款的同时作一次小的附加付款，称为上升支付；(2)在最后一次正规付款的后一个时期作一次较小的付款，称为下降支付；(3)在最后一次正规付款以后的时期中作一次较小的付款，称为非标准时期支付。包含非标准时期付款的年金现值常记作，可解释为一项n个时期，每时期付款1的期末年金再加上最后一次在时刻k的付款的现值。|knaiivaivvvivakknnknnnknkn1)1(11||在时刻k的付款为iik1)1((2.1.4)(2.1.5)例2.1.6有一笔$1000的投资用于在每年年底付$100，时间尽可能长。如果这笔基金的年实利率为5%，试确定可以作出多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小的付款是：(1)在最后一次正规付款的日期支付；(2)在最后一次正规付款以后一年支付；(3)在最后一次正规付款后的一年中间支付。解:设可做n次付款,令||100010010nnaa111.051014.20.05nn即故可做14次正规付款再加一次较小的最后付款.(1)设较小的付款额为x.则到14年末,应有1414|10010001.05Sx20.07x(2)设第15年末付款x.则1514|100(10.05)10001.05Sx21.07x(3)设付款时刻为14+k,由|100010014.2067nkank0.2067k由(2.1.5),付款额为0.2607(10.05)110020.270.0522一笔基金每年年底存入$1000，一直到累积值为$25000为止，如果基金的实利率为8%，试确定需要多少次正规储蓄，及在最后一次正规储蓄后一年的最后储蓄金额为多少？答:n=14,x=-1152.092232.1.5基本年金问题未知时间问题包含未知时间的问题不见得正好产生n是整数的解答。这些问题可以有如下三种处理方式(1)在最后一次正规付款的同时作一次小的附加付款，称为上升支付；(2)在最后一次正规付款的后一个时期作一次较小的付款，称为下降支付；(3)在最后一次正规付款以后的时期中作一次较小的付款，称为非标准时期支付。包含非标准时期付款的年金现值常记作，可解释为一项n个时期，每时期付款1的期末年金再加上最后一次在时刻k的付款的现值。|knaiivaivvvivakknnknnnknkn1)1(11||在时刻k的付款为iik1)1((2.1.4)(2.1.5)例2.1.6有一笔$1000的投资用于在每年年底付$100，时间尽可能长。如果这笔基金的年实利率为5%，试确定可以作出多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小的付款是：(1)在最后一次正规付款的日期支付；(2)在最后一次正规付款以后一年支付；(3)在最后一次正规付款后的一年中间支付。解:设可做n次付款,令||100010010nnaa111.051014.20.05nn即故可做14次正规付款再加一次较小的最后付款.26(1)设较小的付款额为x.则到14年末,应有1414|10010001.05Sx20.07x(2)设第15年末付款x.则1514|100(10.05)10001.05Sx21.07x(3)设付款时刻为14+k,由|100010014.2067nkank0.2067k由(2.1.5),付款额为0.2607(10.05)110020.270.0527一笔基金每年年底存入$1000，一直到累积值为$25000为止，如果基金的实利率为8%，试确定需要多少次正规储蓄，及在最后一次正规储蓄后一年的最后储蓄金额为多少？答:n=14,x=-1152.09228在解年金的未知利率问题时，常用如下的Newton-Raphson迭代公式|111111111nsnsssnssiaiiiiin(2.1.6)或|111111111nsnsssnssisiiiiin(2.1.7)初值为)1()(2)1()(2nknkinkkni或(2.1.8)未知利率问题29例2.1.7季度转换年利率应为多少，才能使在5年内每季度之末付款$1000的现值为$16000?解:n=54=20,k=1000,a=16000设季度内实利率为j,则20|100016000ja或20|16ja40.02238.