向量基础知识汇总

1向量基础知识梳理1．向量：既有________，又有________的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________．3．向量的有关概念：（1）零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．（2）单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．（3）相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．（4）平行向量（共线向量）：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作________．②规定：零向量与__________平行．1．向量的加法法则（1）三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量________叫做a与b的和（或和向量），记作__________，即a＋b＝AB＋BC＝________．上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______．（2）平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律（1）交换律：a＋b＝______________．（2）结合律：（a＋b）＋c＝______________________．3．向量的减法2（1）定义：a－b＝a＋（－b），即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．（2）作法：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝________．如图所示．（3）几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA－OB＝________．1．向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：（1）|λa|＝__________．（2）λa（a≠0）的方向aa当_______时，与方向相同当_______时，与方向相反；特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________．2．向量数乘的运算律（1）λ（μa）＝________．（2）（λ＋μ）a＝____________．（3）λ（a＋b）＝____________．特别地，有（－λ）a＝____________＝________；λ（a－b）＝____________．3．共线向量定理向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．4．向量的线性运算向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝__________________．1．平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a，__________实数λ1，λ2，使a＝____________________________．（2）基底：把________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．2.两向量的夹角与垂直3（1）夹角：已知两个__________a和b，作OA＝a，OB＝b，则________＝θ（0°≤θ≤180°），叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是______________．②当θ＝0°时，a与b________.③当θ＝180°时，a与b________.（2）垂直：如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作______________．3．平面向量的坐标表示（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．（2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．（3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A（x，y），则OA＝________，若A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝________________________．1．平面向量的坐标运算（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝____________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．（3）若a＝（x，y），λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．2．两向量共线的坐标表示设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）．（1）当a∥b时，有______________________．（2）当a∥b且x2y2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．3．若1PP＝λ2PP，则P与P1、P2三点共线．当λ∈________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；当λ∈________时，P位于线段P1P2的延长线上；当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上．41．平面向量数量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．（2）规定：零向量与任一向量的数量积为____．（3）投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________．2．数量积的几何意义a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影______________的乘积．3．向量数量积的运算律（1）a·b＝________（交换律）；（2）（λa）·b＝________＝________（结合律）；（3）（a＋b）·c＝______________________（分配律）．1．平面向量数量积的坐标表示若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝_______．即两个向量的数量积等于_____________．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔________________．3．平面向量的模（1）向量模公式：设a＝（x1，y1），则|a|＝________________．（2）两点间距离公式：若A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝________________________．4．向量的夹角公式设两非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则cosθ＝________＝__________．向量方法在几何中的应用（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的等价条件：a∥b（b≠0）⇔________⇔______________________．（2）证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔____________⇔______________．（3）求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝_______________＝_____________．（4）求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝_______．