2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第八章-第2讲-空间几何体的表面积和体积

第2讲空间几何体的表面积和体积面积体积圆柱了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．1．柱、锥、台和球的侧面积和体积S侧＝______2πrhV＝Sh＝πr2hS侧＝12Ch′面积体积圆锥S侧＝πrl圆台S侧＝π(r1＋r2)l直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥（续表）V＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)hV＝13Sh面积体积正棱台球S球面＝______（续表）2.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．S侧＝12(C＋C′)hV＝13(S上＋S下＋S上S下)hV＝43πR34πR23．等积法的应用(1)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．(2)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．1．(2013年广东)某三棱锥的三视图如图8-2-1，则该三棱锥的体积是()B图8-2-1A.16B.13C.23D．13．已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱锥的体积是______．96C2.设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为()A．83πB．2πC．4πD.43π4．如图8-2-2，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为______．图8-2-25π2考点1几何体的面积答案：12例1：(1)(2014年山东)一个六棱锥的体积为23,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为__．解析：设六棱锥的高为h，体积为V＝13Sh＝23，所以13×6×12×2×3h＝23.解得h＝1.设斜高为h′，则h′＝12＋32＝2，则该六棱锥的侧面积为12×2×2×6＝12.(2)(2013年重庆)某几何体的三视图如图8-2-3，则该几何体的表面积为()图8-2-3A．180B．200C．220D．240解析：几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200.所以四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240.故选D.答案：D【规律方法】第1小题是求实体的面积；第2小题只是给出几何体的三视图，求该几何体的表面积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算.注意表面积包括底面等腰梯形的面积.下底为8，高为4的等腰梯形，所在底面面积为12×(2＋8)×4×2【互动探究】1．(2013年陕西)某几何体的三视图如图8-2-4，则其表面积为________．3π图8-2-4解析：综合三视图可知，立体图是一个半径r＝1的半个球体．其表面积为12×4πr2＋πr2＝3π.考点2几何体的体积例2：(1)(2014年安徽)一个多面体的三视图如图8-2-5，则该多面体的体积是()图8-2-5A.233B.476C．6D．7解析：由题意，该多面体的直观图是一个正方体ABCD-A′B′C′D′挖去左下角三棱锥A-EFG和右上角三棱锥C′-E′F′G′.如图D31，则多面体的体积为V＝2×2×2－图D31答案：A2×13×12×1×1×1＝233.答案：C图D32(2)(2014年新课标Ⅱ)正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点,则三棱锥A­B1DC1的体积为()A．3B.32C．1D.32解析：如图D32，连接AD，显然AD⊥面BCC1B1，即AD为三棱锥A­B1DC1的高，11ABDCV＝13×S△B1DC1×AD＝13×12×2×3×3＝1.【规律方法】求几何体的体积时，若所给的几何体是规则的柱体、锥体、台体或球体，可直接利用公式求解；若是给出几何体的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算．另外不要忘了锥体体积公式中的13.【互动探究】2．(2012年广东)某几何体的三视图如图8-2-6，则它的体积为()图8-2-6A．12πB．45πC．57πD．81π解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．根据三视图中的数量关系，可得V＝V圆锥＋V圆柱＝13×π×32×52－32＋π×32×5＝57π.故选C.答案：C考点3立体几何中的折叠与展开例3：(2014年上海)底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3(如图8-2-7)，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.解：由题意知，在P1P2P3中，P1A＝P3A，P1B＝P2B，P2C＝P3C，所以AB，AC，BC是P1P2P3的三条中位线．图8-2-7因此，△P1P2P3是正三角形，且边长为4.设顶点P在底面ABC内的投影为点O，显然点O为正三角形ABC的中心，AO＝23×22－12＝233，PO＝22－2332＝263，所以VP­ABC＝13×12×2×3×263＝223.【互动探究】3．圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，求圆柱的侧面上从A到C的最短距离．图D33解：如图D33，由圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形，可知：圆柱高CD为5cm，底面半径为2.5cm，底面周长为5πcm，则AD为2.5πcm，圆柱侧面上从A到C的最短距离即是矩形ABCD的对角线长为52＋2.5π2＝52π2＋4(cm)．●难点突破●⊙利用函数的方法解决立体几何问题图8-2-8例题：如图8­2­8，等腰三角形ABC的底边AB＝66，高CD＝3，点E是线段BD上异于B，D的动点，点F在边BC上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF翻折至△PEF，使PE⊥AE，记BE＝x，V(x)表示四棱锥P­ACFE的体积．(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大值？解：(1)∵EF⊥AB，∴∠BEF＝∠PEF＝90°.故PE⊥EF.又PE⊥AE，AE∩EF＝E，∴PE⊥平面ABC，即PE为P­ACFE的高．而S△ABC＝12AB×CD＝12×66×3＝96.易知EF∥CD，则△BEF∽△BDC.∴BEBD＝EFCD，即x36＝EF3.解得EF＝66x.∴S△BEF＝12x·66x＝612x2.∴V(x)＝1396－612x2x＝63x9－112x2(0x36)．(2)V′(x)＝639－14x2，∴当V′(x)0时，0x6，V(x)单调递增；当V′(x)0时，6x36，V(x)单调递减．因此，当x＝6时，V(x)取得最大值，且最大值为126.【规律方法】有关立体几何与函数的综合问题，一般是以立体几何为主体，求出有关线段的长度、有关角度的三角函数、有关平面图形或旋转体的面积、几何体的体积，以建立函数关系式，再利用导数或基本不等式求出最值.注意建立函数关系式一定要准确，求函数最值的各种方法都要了解.【互动探究】4．如图8­2­9，在△ABC中，∠ABC＝π2，AB＝BC＝2，P为AB上一动点，PD∥BC，交AC于点D，现将△PDA沿着PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD.(1)当棱锥A′­PBCD的体积最大时，求PA的长；(2)若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE.图8­2­9(1)解：设PA＝x(0x2)，则A′P＝PA＝PD＝x.∵A′P⊥PD，且平面PDA′⊥平面PBCD，∴A′P⊥平面PBCD.∴VA′­PBCD＝13PA′·S底面PBCD＝13x12×22－12x2＝16x(4－x2)．令f(x)＝16x(4－x2)，由f′(x)＝23－x22＝0，得x＝233x＝－233，舍去.xf′(x)＋0－f(x)↗极大值↘x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：0，233233233，2由上表易知，当PA＝x＝233时，VA′­PBCD取最大值．(2)证明：如图D34，作A′B的中点F，连接EF，FP.由已知，得EF12BCPD.∴四边形PDEF为平行四边形．∴ED∥FP.∵A′P＝AP＝PB，∴PF⊥A′B.∴A′B⊥DE.图D34