2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第四章-第2讲-平面向量的数量积

第2讲平面向量的数量积1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．1．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．3．平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b____向时，a·b＝－|a||b|；特别地，a·a＝|a|2，|a|＝a·a.(4)cosθ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|____|a||b|.反≤4．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)|a|＝x21＋y21.(3)cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21×x22＋y22.(4)a____b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.5．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB→＝a，则|a|＝x1－x22＋y1－y22(平面内两点间的距离公式)．⊥1．已知a＝(λ，2)，b＝(－4,10)，且a⊥b，则实数λ的值为()CA.45B．－45C．5D．－52．已知向量a，b满足|a|＝4，|b|＝1，且a·b＝－2，则a与b的夹角大小为()BA.π3B.2π3πC.6D.5π63．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a|＝()C5A.2B.3C.5D.104．(2013年山东)在平面直角坐标系xOy中，已知OA→＝(－1，t)，OB→＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t＝________.解析：AB→＝OB→－OA→＝(3,2－t)，∵OB→⊥AB→，∴3×2＋2×(2－t)＝0，t＝5.考点1向量数量积的基本运算例1：(1)(2014年大纲)已知a，b为单位向量，其夹角为60°，)则（2a－b)·b＝(A．－1C．1B．0D．2解析：(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos60°－|b|2＝2×1×1×cos60°－1＝0.故选B.答案：B(2)(2013年北京顺义第一次统练)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2，k)，且a⊥(2a－b)，则实数k＝()A．－14B．－6C．6D．14解析：∵a⊥(2a－b)，∴a·(2a－b)＝0，即2|a|2－a·b＝0，∴2×5－(－4＋k)＝0，解得k＝14.答案：D【规律方法】向量的数量积通常有两种计算方法：一是利用坐标运算,设向量a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a·b＝x1x2＋y1y2；二是利用数量积的定义，即a·b＝|a||b|cosθ.【互动探究】1．(2015年广东江门一模)已知向量a＝(－3,4)，b＝(1，m)，若a·(a－b)＝0，则m＝()CA.112B．－112C．7D．－72．(2013年安徽)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a，b夹角的余弦值为________．－13解析：|a|＝3|b|＝|a＋2b|，|a|2＝9|b|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cosθ,即9|b|2＋4|b|2＋12|b||b|cosθ＝9|b|2，cosθ＝－13.考点2向量数量积在平面几何中的应用例2：(1)(2013年山东泰安统测)如图4-2-1，已知正六边形)P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是(图4-2-1A.P1P2→·P1P3→B.P1P2→·P1P4→C.P1P2→·P1P5→D.P1P2→·P1P6→答案：A解析：设正六边形的边长为1，则P1P2→·P1P3→＝|P1P2→||P1P3→|cos30°＝3×32＝32，P1P2→·P1P4→＝|P1P2→||P1P4→|cos60°＝2×12＝1，P1P2→·P1P5→＝|P1P2→||P1P5→|cos90°＝0，P1P2→·P1P6→＝|P1P2→||P1P6→|cos120°＝－12.故选A.(2)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.图D16解析：方法一：(特例法)假设△ABC是满足AB＝AC的等腰三角形,如图D16，AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝34.cos∠BAC＝34＋34－1002×34＝－817.AB→·AC→＝|AB→||AC→|.cos∠BAC＝－16.答案：－16【规律方法】当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理及解三角形等知识．方法二：AB→·AC→＝－12BC→＋AM→·12BC→＋AM→＝AM→2－14BC→2＝32－14×102＝－16.则AB·AD的取值范围是________．【互动探究】3．在边长为1的等边△ABC中，点D为BC边上的一动点，→→12，1解析：设BD＝x，x∈[0,1]，则AB→·AD→＝AB→·(AB→＋BD→)＝AB→2＋AB→·BD→＝1＋xcos120°＝1－12x∈12，1.考点3向量的数量积在解析几何中的应用例3：已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点F1，F2在x轴上，离心率为12，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于8.(1)求椭圆C的方程；(2)已知M，N是直线x＝4上的两个动点，且F1M→·F2N→＝0.设圆E是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆E的位置关系．解：(1)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意，得ca＝12，4a＝8，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)知，F1(－1,0)，F2(1,0)．设M(4，t1)，N(4，t2)，则F1M→＝(5，t1)，F2N→＝(3，t2)，OM→＝(4，t1)，ON→＝(4，t2)．∵F1M→·F2N→＝0，∴5×3＋t1t2＝0.∴OM→·ON→＝4×4＋t1t2＝16－15＝10，故∠MON为锐角．∴原点O在圆E外．【规律方法】(1)同弧的圆周角、圆外角和圆内角中，圆内角最大，圆外角最小．当圆周角为直角时，只要判断点与直径两端点的连线所构成的角是锐角还是钝角即可知道该点是在圆内还是圆外．(2)在解析几何中，两个向量相等通常转化为两个分量相等．(3)对于解析几何中的向量，通常要清楚向量的几何意义：如垂直问题，平分问题，平行问题，等份问题等．【互动探究】4．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝3，则OA→·OB→＝()A．－12B.12C．－34D．0A解析：|AB|＝3，r＝1，易求得∠AOB＝120°，则OA→·OB→＝1×1×cos120°＝－12.●易错、易混、易漏●⊙向量中错误使用充要条件造成问题解答不全例题：已知向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)．(1)若向量a与b的夹角为直角，求实数m的值；(2)若向量a与b的夹角为钝角，求实数m的取值范围．正解：(1)若a与b的夹角为直角，则a·b＝0，即(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)＝0.∴m＝－43或m＝2.(2)若向量a与b的夹角为钝角，则a·b0，且a与b不共线．∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)0，且(m－2)(m－2)－(m＋3)(2m＋1)≠0.解得－43m55－112或55－112m2.∴实数m的取值范围是－43m55－112或55－112m2.【失误与防范】两个向量a·b0等价于|a·ba||b|0，相当于夹角的余弦值小于零，我们知道cosπ=－10，所以a·b0中包括了两个向量反向共线和夹角为钝角两种情况．同理，a·b0中包括了两个向量同向共线和夹角为锐角两种情况．这两点在解题中要特别注意．