初中九年级数学专项练习专题5--锐角三角函数与解直角三角形学案(无答案)

众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！．理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．2．掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形．3．利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.知识梳理一、锐角三角函数定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.∠A的正弦：sinA＝∠A的对边斜边＝________；∠A的余弦：cosA＝∠A的邻边斜边＝________；∠A的正切：tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝________.它们统称为∠A的锐角三角函数．锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！．定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)2．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)三边之间的关系：____________；(2)锐角之间的关系：____________；(3)边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba.3．解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝asinA，b＝atanA(或b＝c2－a2)；(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA(或b＝c2－a2)；(3)已知两直角边a，b，其解法为：c＝a2＋b2，由tanA＝ab，得∠A，∠B＝90°－∠A；(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b＝c2－a2，由sinA＝ac，求出∠A，∠B＝90°－∠A.四、解直角三角形的应用1．仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点________与水平距离之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面________．众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！、考点一、锐角三角函数的定义例如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是()A．513B．1213C．512D．135[来源:学_科_网]【跟踪练习】1、△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是()A．csinA＝aB．bcosB＝cC．atanA＝bD．ctanB＝b2、如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE的值为()A．43B．35C．34D．453、如图17-5，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（）A.513B．1213C．512D．125考点二、特殊角的三角函数值例如果△ABC中，sinA＝cosB＝22，则下列最确切的结论是()A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形【跟踪练习】1、如图是教学用的直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝33，则边BC的长为()众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！．303cmB．203cmC．103cmD．53cm2、计算：|－2|＋2sin30°－(－3)2＋(tan45°)－1.考点三、解直角三角形例在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=13，AD=1．求BC的长．【跟踪练习】1、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cosA＝35.求：(1)DE，CD的长；(2)tan∠DBC的值．考点四、解直角三角形在实际中的应用例1如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，则AB等于()米．A．asin40°B．acos40°C．atan40°D．atan40°【跟踪练习】众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！．(2012福建福州)如图，从热气球C处测得地面上A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点的距离是()A．200米B．2003米C．2203米D．100(3＋1)米2、某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如图所示，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α.测得A，B之间的距离为4米，tanα＝1.6，tanβ＝1.2，试求建筑物CD的高度．课时作业一、选择题1.(2014·杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=【】A.3sin40B.3sin50C.3tan40D.3tan502.（2014·湖州）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=12，则BC的长是【】A．2B．8C．25D．45[来源:Z§xx§k.Com]3.(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是3:1（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是【】A.9mB.6mC.36mD.33m5、如图，轮船从B处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！（）海里A．325B．225C．50D．256．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝5，BC＝2，则sin∠ACD的值为()A．53B．255C．52D．237．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ba.则下列关系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinAD．tan2A＋cot2A＝18．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为()(第3题图)A．hsinαB．htanαC．hcosαD．h·sinα9.2cos30°的值是．10.在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC=．二、填空题1.（2014·宁波）为解决停车难得问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出▲个这样的停车位（4.12）众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！（2014·温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是３.（2014·嘉兴）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米(用含α的代数式表示)．4．(2012山东济宁)在△ABC中，若∠A，∠B满足cosA－12＋sinB－222＝0，则∠C＝__________.5．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C地，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B，C两地相距__________m.6．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于__________．三、解答题1.（2014·四川省广安市）为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长602米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！（1）若修建的斜坡BE的坡比为3：1，求休闲平台DE的长是多少米？（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG=33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？2.（204·四川省遂宁市）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1=；sin2A2+sin2B2=；sin2A3+sin2B3=．（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=．（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=513，求sinB3.（2014·云南省）如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．如图，一天我渔政船停在小岛A北偏西37°方向的B处，观察A岛周边海域．据测算，渔政船与A岛的距离AB为10海里，此时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号．渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需要多少分钟能到达渔船所在的C处（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)?提示过点B作BD⊥AC，将△ABC分割为两个直角三角形，再分别解两个直角三角形即可．5．如图，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，那么这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°．求小华的眼睛到地面的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73）．[来源:学|科|网Z|X|X|K