5.4数列求和

第四节数列的求和【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)基本求和公式:等差数列前n项和公式Sn=_____________=_________等比数列前n项和公式Sn=1nn1nad21nnaa21naaq,q11qn1a(1q)1q___,q=1na1(2)基本求和方法:①公式法:使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比数列或可化为等差等比数列的求和方法.②裂项相消法:把数列的通项拆分为两项之差,使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法.③错位相减法:(i)适用的数列:{anbn},其中数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q≠1的等比数列.(ii)方法:设Sn=a1b1+a2b2+…+anbn(*),则qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1(**),(*)-(**)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,就转化为根据公式可求的和.例如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.④倒序相加法:如果一个数列{an}与___________________的两项的和等于首末两项之和,可把正着写与倒着写的两个式子相加,就得到一个常数列的和,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,例如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.首末两端等“距离”⑤分组求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化求和法,分别求和而后相加减.例如已知an=2n+(2n-1),求Sn.⑥并项求和法:把数列中的若干项结合到一起,形成一个新的可求和的数列,此时,数列中的项可能___________出现或呈现_______.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如:Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.正、负相间周期性2.必备结论教材提炼记一记常用求和公式:前n个正整数之和前n个正奇数之和1+3+5+…+(2n-1)=n2前n个正整数的平方和前n个正整数的立方和nn112n2222nn12n112n63332nn112n[]23.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法、迭代法、累加法及累乘法等.(2)数学思想:函数与方程、转化与化归、特殊与一般、分类讨论.(3)记忆口诀数列求和比较难,错位相减巧转换,取长补短高斯法,裂项求和公式算.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)如果已知等差数列的通项公式,则在求其前n项和时使用公式Sn=较为合理.()(2)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=()1nnaa21n1aa.1q(3)当n≥2时,()(4)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()(5)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).()2111.n1n1n1【解析】(1)正确.根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知.(2)正确.根据等比数列的求和公式可知.(3)错误.直接验证可知(4)错误.含有字母的数列求和常需要分类讨论,此题需要分a=0,a=1,以及a≠0且a≠1三种情况求和,只有当a≠0且a≠1时才能用错位相减法求和.(5)正确.根据周期性可得.答案:(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√21111().n12n1n12.教材改编链接教材练一练(1)(必修5P38复习题一A组T9改编)Sn=等于()n113n2282nn1nn1nnnn2n12n22n12n2A.B.C.D.2222【解析】选B.方法一：Sn=①①-②得，方法二：取n=1,S1=,代入各选项验证可知选B.23n123n,2222n23nn1112n1nS,22222②n23nn1nn1n1nn11111nS22222211[1()]n22,12122n2S.B.2所以故选12(2)(必修5P38复习题一A组T8改编)一个球从100m高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,当它第10次着地时,经过的路程是()A.100+200×(1-2-9)B.100+100(1-2-9)C.200(1-2-9)D.100(1-2-9)【解析】选A.第10次着地时,经过的路程为100+2(50+25+…+100×2-9)=100+2×100×(2-1+2-2+…+2-9)=100+200×=100+200(1-2-9).1912(12)123.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.n(n1)2n(n1)2－【解题提示】利用a2,a4,a8成等比数列求得公差,然后利用等差数列求和公式求和.【解析】选A.因为公差d=2,a2,a4,a8成等比数列,所以=a2a8,即(a2+2d)2=a2(a2+6d),解得a2=4,所以a1=2.所以利用等差数列的求和公式可求得Sn=n(n+1).24a(2)(2013·大纲版全国卷)已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于()A.-6(1-3-10)B.(1-310)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)4319【解析】选C.由3an+1+an=0，得故数列{an}是公比q=-的等比数列.又a2=-，可得a1=4.所以S10==3(1-3-10).n1na1,a313431014[1()]311()3(3)(2015·兰州模拟)数列…，(2n-1)+的前n项和Sn的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-【解析】选A.该数列的通项公式为an=(2n-1)+,则Sn=［1+3+5+…+(2n-1)］+11111,3,5,724816，n1,2n12n12n112n12n1222nn1111()n1.2222(4)(2015·安庆模拟)已知Sn表示数列{an}的前n项的和,若对任意n∈N*满足an+1=an+a2,且a3=2,则S2014=()A.1006×2013B.1006×2014C.1007×2013D.1007×2014【解析】选C.在an+1=an+a2中,令n=1,则a2=a1+a2,a1=0,令n=2,则a3=2=2a2,a2=1,于是an+1-an=1,故数列{an}是首项为0,公差为1的等差数列,所以S2014==1007×2013.201420132考点1公式法求和【典例1】(1)(2015·潍坊模拟)若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=的结果为()1223nn1111aaaaaannnn112121A.1B.1C.(1)D.(1)423432(2)(2014·重庆高考)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.①求an及Sn.②设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.【解题提示】(1)先利用等比数列的通项公式求出an,再求出最后利用等比数列的前n项和公式求解.(2)直接根据等差、等比数列的性质求解通项公式及其前n项和.nn11,aa【规范解答】(1)选C.由已知得an=1×2n-1=2n-1,设bn=则bn=nn11aa，2n1n1n11(),22232n1n12nnn111Tbbb()()22211[1()]2124(1).13414所以(2)①因为{an}是首项为1,公差为2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.故Sn=1+3+…+(2n-1)=1n2naan12n1n.22②由①得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0.即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.又因为b1=2,{bn}是公比为4的等比数列,所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1.从而{bn}的前n项和Tn=n1nb1q241.1q3【规律方法】几类可以使用公式求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列,它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解.(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的,可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式求解.【变式训练】(2015·南宁模拟)等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.【解析】(1)设{an}的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2.所以an=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b4=8,b16=32,设{bn}的公差为d,则有所以bn=b1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.数列{bn}的前n项和Sn=111b3d8,b2,b15d32,d2.解得21nn1nn1nbd2n2nn.22【加固训练】数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,满足关系式3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t0,n=2,3,4,…).(1)求证:数列{an}为等比数列.(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=f()(n=2,3,4,…),求bn.(3)求Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)的值.n11b【解析】(1)因为两式相减得3tan+1-(2t+3)an=0,又t0,所以(n≥2),当n=2时,3tS2-(2t+3)S1=3t,即3t(a1+a2)-(2t+3)a1=3t,所以数列{an}为首项a1=1,公比q=的等比数列.nn1n1n3tS2t3S3t,n2,3tS2t3S3tn1na2t3a3t2n121naa2t32t32t3a,,(n1).3ta3ta3t得即故2t33t(2)由已知得f(t)=所以bn=所以数列{bn}是以b1=1为首项,公差为d=的等差数列,故bn=(3)Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)=-2d(b2+b4+…+b2n)2t3,3tn1n1n1n123b12f()b(b2),3b3b2321n.332nn1254842[n]nn.332393考点2分组法求和【典例2】(1)(2015·临沂模拟)已知数列{an}的通项公式是an=2·3n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,则其前n项和Sn=.(2)(2014·湖南高考)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.①求数列{an}的通项公式.②设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.2nn2na2【解题提示】(1)由于存在(-1)n,因此应分n为奇数、偶数讨论,并分组求和.(2)①利用an,Sn的关系求解;②分组求和.【规范解答】(1