高等数学课件,积分学

高等数学课件,积分学第三讲积分学一、不定积分1）原函数与不定积分的概念2）不定积分计算方法：积分的基本公式及性质、分项积分法、两类换元法、分部积分法、几类特殊函数的积分法（有理函数、三角有理函数、简单无理函数）例1：计算。解：原式注：不定积分是导数的逆运算，要充分利用导数计算找原函数。例2：证明：若，则其中为待定系数，是方程不相等的实根，。证明：因为设（1）则有，当取时，（1）式恒成立，因此有二、定积分1）定积分的概念和性质2）微积分基本公式：，其中3）定积分计算方法：利用定义计算、利用微积分基本公式、分项积分法、换元法、分部积分法、一些间接计算公式。1、2、3、如果关于直线对称，则有4、如果关于点对称，则有5、6、7、例3：计算阿桑积分，其中。解：因为，所以是连续函数，即一定存在。（1）当时，（2）当时，。注：这里利用了复数开方公式得：4）反常积分（广义积分）反常函数审敛法：（1）设在区间上连续，且，如果函数是在区间上的有界函数，则收敛；（2）设在区间上连续，且，则有，收敛可得收敛；发散可得发散。（3）设在区间上连续，，则有如果，则有和同敛散；如果，则有收敛可得收敛；如果，则有发散可得发散。（4）如果收敛，则收敛（绝对收敛）。例4：判别下列反常积分敛散性（1）（2）解：（1）因为收敛，所以。（2）因为，发散，所以发散。5）定积分的应用：计算平面图形面积、计算立体体积、计算弧长、计算连续函数平均值公式。三、重积分（二重积分、三重积分）1）重积分的概念和性质2）重积分的计算方法：二重积分：直角坐标系下计算法、极坐标计算法、换元法注意对称性的运用；三重积分：投影法、切片法、球面坐标计算法、柱面坐标计算法、换元法注意对称性的运用。3）重积分的应用曲面的面积为、物体质心、转动惯量、引力。四、两类曲线积分1）曲线积分的概念和性质2）曲线积分的计算法：注意对称性的运用。3）格林公式：设在上有连续偏导数，则有4）第二型曲线积分与路径无关五、两类曲面积分1）两类曲面积分的概念和性质2）两类曲面积分计算法：注意曲面在对应坐标面的投影，及两类曲面的联系。3）高斯公式和斯托克斯公式例5：证明：若在区间上有连续二阶导数，则证明：因为在区间上连续，由最大值最小值定理，存在是在区间上的最大值。利用泰勒公式有其中在之间，，因此我们有又因为所以有由于因此我们有例6：证明：若函数在区间上单调，且存在，则有证明：无妨设单调递增，取则有因为存在，所以。当时有当时有由夹逼准则可得。例7：已知空间中的点，线段绕轴旋转为，求与平面所围成立体的体积。解：线段的方程为，曲面的方程为。例8：设函数在区域内有二阶连续偏导数，且，证明：证明：利用极坐标可得改变积分次序后可得设是圆并取正方向，是围成的圆盘，由关于坐标的基本计算方法和格林公式可得所以我们有例9：计算，其中是上半球面与柱面的交线，的方向从轴正方向向负方向看是逆时针方向。解：设上半球面在圆柱面内的部分，并区上侧，利用斯托克斯定理可得因为对应的单位法向量为，所以。例10：计算，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数。解：取为圆盘的下侧，则有六、练习题1）计算2）设是上的连续函数，证明：3）设连续，且，其中为，求。4）设函数具有二阶连续的导数，且，试确定函数，使，其中是任意一条不与相交的简单正向闭曲线。5）计算，其中为曲面的外侧。七、