第1讲-空间几何体

2021/3/6核心知识整合2021/3/6•1．柱体、锥体、台体、球的结构特征名称几何特征棱柱①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)；②其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥①有一个面是多边形(底面)；②其余各面是有公共顶点的三角形．棱台①底面互相平行；②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点)2021/3/6名称几何特征圆柱①有两个互相平行的圆面(底面)；②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直圆台①底面互相平行；②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的球①有一个曲面是球面；②有一个球心和一条半径长R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的2021/3/6•2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积名称体积表面积棱柱V棱柱＝Sh(S为底面积，h为高)S棱柱＝2S底面＋S侧面棱锥V棱锥＝13Sh(S为底面积，h为高)S棱锥＝S底面＋S侧面棱台V棱台＝13h(S＋SS′＋S′)(S、S′为底面积，h为高)S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面2021/3/6名称体积表面积圆柱V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高)S圆柱＝2πrl＋2πr2(r为底面半径，l为母线长)圆锥V圆锥＝13πr2h(r为底面半径，h为高)S圆锥＝πrl＋πr2(r为底面半径，l为母线长)圆台V圆台＝13πh(r2＋rr′＋r′2)(r、r′为底面半径，h为高)S圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2球V球＝43πR3(R为球的半径)S球＝4πR2(R为球的半径)2021/3/6•3.空间几何体的三视图和直观图•(1)空间几何体的三视图•三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．•(2)空间几何体的直观图•空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．2021/3/6•4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.2021/3/6•1．识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线．•2．注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去一部分后剩余部分的表面积计算．要弄清增加和减少的部分．•3．展开与折叠、卷起问题中，要注意平面图形与直观图中几何量的对应关系．2021/3/6命题热点突破2021/3/6•三视图的识画(文)(2013·北京文，10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________．2021/3/6•[答案]3[解析]由三视图知该四棱锥底面为正方形，边长为3，四棱锥的高为1，其体积为V＝13×3×3×1＝3.2021/3/6•(理)(2013·辽宁理，13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．2021/3/6•[答案]16π－16•[解析]由三视图可知，几何体为圆柱中挖去一个正四棱柱，所以体积V＝π×22×4－2×2×4＝16π－16.2021/3/6(文)(2014·新课标Ⅰ文，8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()2021/3/6•A．三棱锥B．三棱柱•C．四棱锥D．四棱柱•[答案]B•[解析]由三视图知该几何体是一个横放的直三棱柱，三棱柱的底面是直角三角形，两直角边长都是6，正对观察者．棱柱高为4.2021/3/6(理)(2014·新课标Ⅰ理，12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A．62B．6C．42D．42021/3/6•[答案]B[解析]由三视图可知，该几何体是一个三棱锥S－ABC，底面ABC为等腰直角三角形，直角边长AB＝BC＝4，侧面SBC⊥底面ABC，侧面SBC是一个等腰三角形，底边BC＝4，高SO＝4，故其最长的棱为SA，取BC的中点O，则SO⊥平面ABC，∴BO＝2，AO＝AB2＋DO2＝20，∴SA＝AO2＋SO2＝6，其直观图如图1.2021/3/6把该几何体放入正方体中如图2.2021/3/6[方法规律总结]在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，特别注意由各视图中观察者与几何体的相对位置与图中的虚实线来确定几何体的形状．2021/3/6•几何体的表面积与体积(2013·安庆二模)如图，几何体ABC－EFD是由直三棱柱截得的，EF∥AB，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2，CD＝2AE＝6.(1)求三棱锥D－BCE的体积；(2)求证：CE⊥DB.2021/3/6[解析](1)解：BC2＝AC2－AB2＝3⇒BC＝3.几何体ABC－EFD是由直三棱柱截得的，由图可知DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB.又∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∴AB⊥平面BDC.又EF∥AB，∴EF⊥平面BCD.故VD－BCE＝VE－BCD＝13S△BCD·EF＝13×12×3×6×1＝22.2021/3/6(2)证明：连接CF.依题意AB⊥BFAB⊥BCBF∩BC＝B⇒AB⊥平面BFDBD⊂平面BFD⇒AB⊥BDEF∥AB⇒EF⊥BD.①2021/3/6又在Rt△BCF和Rt△CDB中，BFBC＝623＝22，BCCD＝26＝22⇒BFBC＝BCCD⇒Rt△BCF∽Rt△CDB⇒∠BDC＝∠BCF⇒∠BDC＋∠DCF＝∠BCF＋∠DCF＝90°⇒CF⊥BD.②由①②⇒BD⊥平面CEF.又CE⊂平面CEF，∴BD⊥CE.2021/3/6(2014·安徽理，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋3B．18＋3C．21D．182021/3/6•[答案]A•[解析]如图，还原直观图为棱长为2的正方体截去两个角，其6个面都被截去了一个直角边长为1的等腰直角三角形，表面增加了两个边长为2的正三角形，故其表面积S＝6×(2×2－12×1×1)＋34×(2)2×2＝21＋3.2021/3/6•[方法规律总结]•求几何体的表面积与体积问题，熟记公式是关键，应多角度全方位的考虑．•1．给出几何体的形状、几何量求体积或表面积，直接套用公式．•2．用三视图给出几何体，先依据三视图规则想象几何体的形状特征，必要时画出直观图，找出其几何量代入相应公式计算．2021/3/6•3．用直观图给出几何体，先依据线、面位置关系的判定与性质定理讨论分析几何体的形状特征，再求体积或表面积．•4．求几何体的体积常用等积转化的方法，转换原则是其高易求，底面在几何体的某一面上，求不规则几何体的体积，主要用割补法．2021/3/6•球的切接问题(文)(2014·海南省六校联盟联考)一几何体的三视图如下图所示，若正视图和侧视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为()A.34πB．2πC．3πD．12π2021/3/6•[答案]C[解析]如图，由三视图可知该几何体是如图所示的四棱锥，其底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝1，PB是外接球的直径，PB＝3，∴外接球的表面积S＝4π×(32)2＝3π.2021/3/6•(理)(2014·东北三校第二次联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为________．[答案]12523π2021/3/6[解析]设该几何体外接球的半径为R，由三视图可知，该几何体是一个三棱锥P－ABC，其中PA⊥平面ABC，AB⊥AC，该几何体可视作长、宽、高分别为5、4、3的长方体的一角，因此4R2＝32＋42＋52，∴R＝522，故外接球的体积V＝43πR3＝43π×(522)3＝12523π.2021/3/6(文)正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为________．[答案]4π32021/3/6[解析]设正方形ABCD的中心为O，∵正方形ABCD的边长为2，∴OA＝1，又SA＝2，∴SO⊥平面ABCD，∴SO＝1.∴O为正四棱锥S－ABCD的外接球的球心，∴球的体积V＝43π·13＝4π3.2021/3/6(理)(2014·全国大纲理，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.81π4B．16πC．9πD.27π4[答案]A2021/3/6[解析]如图，设球心为O，球的半径是r，根据题意可得△AOE为Rt△，AO2＝AE2＋(PE－PO)2，即(4－r)2＋(2)2＝r2，解得r＝94，所以球的表面积是S＝4πr2＝4π(94)2＝81π4.2021/3/6•[方法规律总结]•(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．•(2)若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，一般先将四棱锥P－ABCD补成球的内接长方体，利用4R2＝PA2＋PB2＋PC2解决问题．2021/3/6学科素能培养2021/3/6•未知向已知、高维向低维、陌生向熟悉转化的思想如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M、N分别为SA、CD的中点．(1)证明：直线MN∥平面SBC；(2)证明：平面SBD⊥平面SAC.2021/3/6•[分析](1)要证线面平行，可利用线面平行的判定定理转化为证线线平行，考虑到M、N为线段中点，可考虑构造中位线或平行四边形解决．•(2)要证二面垂直，可利用二面垂直的判定定理转化为线面垂直．关键是找到其中一个面的垂线，可考虑条件中SA⊥平面ABCD及四边形ABCD为菱形进行转化．2021/3/6[解析](1)如图所示，取SB中点E，连接ME，CE.因为M为SA的中点，故ME∥AB，且ME＝12AB.2021/3/6因为N为菱形ABCD中边CD的中点，故CN綊12AB，从而ME綊CN，所以四边形MECN是平行四边形，即MN∥EC.又因为EC⊂平面SBC，MN⊄平面SBC，所以直线MN∥平面SBC.2021/3/6(2)连接AC、BD相交于点O.因为SA⊥底面ABCD，故SA⊥BD.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为SA∩AC＝A，故BD⊥平面SAC.又因为BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAC.2021/3/6(2013·新课标Ⅰ文，19)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．2021/3/6[解析](1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.2021/3/6(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3.故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.2021/3/6•[方法规律总结]•1．立体几何中的沿表面最短距离问题一般都转化为侧面展开图中两点间距离或点到直线的距离求解．•2．立体几何问题要注意利用线线、线面、面面平行与垂直的相互转化探寻解题思路，对于不易观察的空间图形可部分地画出其平面图形．2021/3/6•3．立