不等式选讲

不等式选讲(大题)热点一含绝对值不等式的解法1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.2.用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.例1(2019·郴州质检)已知函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－1|.(1)求不等式f(x)≤3的解集；(2)若函数y＝f(x)的图象的最低点为(m，n)，正数a，b满足ma＋nb＝2，求2a＋1b的取值范围.解(1)当x≤－1时，f(x)＝－3x＋1≤3，得x≥－23，所以x∈∅，当－1x1时，f(x)＝－x＋3≤3，得x≥0，所以0≤x1，当x≥1时，f(x)＝3x－1≤3，得x≤43，所以1≤x≤43，综上，不等式的解集为0，43.(2)由f(x)＝－3x＋1，x≤－1，－x＋3，－1x1，3x－1，x≥1的图象的最低点为(1,2)，即m＝1，n＝2，所以a＋2b＝2，因为a0，b0，所以2a＋1b＝12(a＋2b)2a＋1b＝124＋4ba＋ab≥12(4＋24)＝4，当且仅当a＝2b＝1时等号成立，所以2a＋1b的取值范围是[4，＋∞).跟踪演练1设函数f(x)＝|2x－a|＋5x，其中a0.(1)当a＝3时，求不等式f(x)≥5x＋1的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值.解(1)当a＝3时，不等式f(x)≥5x＋1，即|2x－3|＋5x≥5x＋1，即|2x－3|≥1，解得x≥2或x≤1，∴不等式f(x)≥5x＋1的解集为{x|x≤1或x≥2}.(2)由f(x)≤0，得|2x－a|＋5x≤0，即x≥a2，7x－a≤0或xa2，3x＋a≤0，又a0，∴不等式f(x)≤0的解集为xx≤－a3，由题意得－a3＝－1，解得a＝3.热点二含绝对值不等式恒成立(存在)问题绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离，化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式.(2)转化最值：f(x)a恒成立⇔f(x)mina；f(x)a恒成立⇔f(x)maxa；f(x)a有解⇔f(x)maxa；f(x)a有解⇔f(x)mina；f(x)a无解⇔f(x)max≤a；f(x)a无解⇔f(x)min≥a.(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值.(4)得结论.例2(2019·聊城模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋2|x＋1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤4的解集；(2)设不等式f(x)≤|2x＋4|的解集为M，若[0,3]⊆M，求a的取值范围.解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋2|x＋1|，当x≥1时，若f(x)≤4，即x－1＋2x＋2≤4，解得x≤1，故x＝1，当－1x1时，若f(x)≤4，即1－x＋2x＋2≤4，解得x≤1，故－1x1，当x≤－1时，若f(x)≤4，即1－x－2x－2≤4，解得x≥－53，故－53≤x≤－1，综上，不等式的解集是－53，1.(2)若[0,3]⊆M，则问题转化为|x－a|＋2|x＋1|≤|2x＋4|在[0,3]上恒成立，即|x－a|≤2x＋4－2x－2＝2，故－2≤x－a≤2，故－2－x≤－a≤2－x在[0,3]上恒成立，即x－2≤a≤x＋2在[0,3]上恒成立，故1≤a≤2，即a的取值范围是[1,2].跟踪演练2(2019·广州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.(1)解不等式|g(x)|5.(2)若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.解(1)由||x－1|＋2|5，得－5|x－1|＋25，所以－7|x－1|3，解得－2x4.故所求不等式的解集为(－2,4).(2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，当且仅当(2x－a)(2x＋3)≤0时等号成立，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞).热点三不等式的证明1.证明不等式的基本方法有综合法、分析法等，也常用到基本不等式进行证明.2.对于含有绝对值的不等式，在证明时常用到绝对值三角不等式.3.对于含有根号的不等式，在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数).4.如果所证明命题是否定性命题或唯一性命题，或以“至少”“至多”等方式给出，可以考虑反证法.例3已知函数f(x)＝|x－1|＋||x－3.(1)解不等式f(x)≤x＋1；(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a0，b0，a＋b＝c，求证：a2a＋1＋b2b＋1≥1.(1)解f(x)≤x＋1，即|x－1|＋||x－3≤x＋1.①当x1时，不等式可化为4－2x≤x＋1，解得x≥1.又∵x1，∴x∈∅；②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x＋1，解得x≥1.又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3；③当x3时，不等式可化为2x－4≤x＋1，解得x≤5.又∵x3，∴3x≤5.∴原不等式的解集为[]1，5.(2)证明由绝对值不等式的性质，得|x－1|＋||x－3≥||－x＋()x－3＝2，当且仅当(x－1)(x－3)≤0，即1≤x≤3时，等号成立，∴c＝2，即a＋b＝2.令a＋1＝m，b＋1＝n，则m1，n1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，a2a＋1＋b2b＋1＝()m－12m＋n－2n＝m＋n＋1m＋1n－4＝4mn≥4m＋n22＝1，当且仅当m＝n＝2时，等号成立，∴原不等式得证.跟踪演练3已知函数f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|，M为不等式f(x)6的解集.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，求证：|ab＋1||a＋b|.(1)解f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|6.当x－13时，f(x)＝－3x－1－3x＋1＝－6x，由－6x6，解得x－1，∴－1x－13；当－13≤x≤13时，f(x)＝3x＋1－3x＋1＝2，又26恒成立，∴－13≤x≤13；当x13时，f(x)＝3x＋1＋3x－1＝6x，由6x6，解得x1，∴13x1.综上，f(x)6的解集M＝{x|－1x1}.(2)证明(ab＋1)2－(a＋b)2＝a2b2＋2ab＋1－(a2＋b2＋2ab)＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1).由a，b∈M，得|a|1，|b|1，∴a2－10，b2－10，∴(a2－1)(b2－1)0，∴|ab＋1||a＋b|.真题体验(2019·全国Ⅰ，理，23)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc＝1a＋1b＋1c.所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33a＋b3b＋c3a＋c3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)＝24.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.押题预测设函数f(x)＝|x＋1|－|2x－4|.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)若关于x的不等式f(x)t2＋2t的解集非空，求实数t的取值范围.解(1)由f(x)2，得|x＋1|－|2x－4|2，等价为x－1，x－52或－1≤x≤2，3x－32或x2，－x＋52，可得x∈∅或53x≤2或2x3，即53x3，则原不等式的解集为53，3.(2)关于x的不等式f(x)t2＋2t的解集非空，可得t2＋2tf(x)max，由f(x)＝|x＋1|－|x－2|－|x－2|≤|x＋1－x＋2|－0＝3，当且仅当x＝2时取得最大值3，可得t2＋2t3，解得－3t1.A组专题通关1.(2019·济南模拟)已知实数a0，b0，函数f(x)＝|x－a|－|x＋b|的最大值为3.(1)求a＋b的值；(2)设函数g(x)＝－x2－ax－b，若对于任意的x≥a均有g(x)f(x)，求a的取值范围.解(1)f(x)＝|x－a|－|x＋b|≤|x－a－x－b|＝|a＋b|＝3，∵a0，b0，∴a＋b＝3，(2)由(1)得，0a3,0b3，∴对于任意的x≥a，x－a≥0，x＋b0，此时f(x)＝x－a－x－b＝－3，若对于任意的x≥a均有g(x)f(x)，即x2＋ax＋b－30在[a，＋∞)上恒成立，即x2＋ax－a0在[a，＋∞)上恒成立，对称轴x＝－a20，故只需a2＋a2－a0即可，解得a12，故12a3.2.(2019·德州模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－a|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)3的解集；(2)若不等式|x－2|＋|x－a|≤f(x)＋m2＋32m恒成立，求实数m的取值范围.解(1)a＝1时，函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－a|＝|2x＋1|＋|x－1|，当x≤－12时，f(x)＝－(2x＋1)－(x－1)＝－3x，不等式f(x)3化为－3x3，解得x－1，所以－1x≤－12；当－12x1时，f(x)＝(2x＋1)－(x－1)＝x＋2，不等式f(x)3化为x＋23，解得x1，所以－12x1；当x≥1时，f(x)＝(2x＋1)＋(x－1)＝3x，不等式f(x)3化为3x3，解得x1，所以x∈∅；综上，不等式f(x)3的解集为{x|－1x1}.(2)由f(x)＝|2x＋1|＋|x－a|，不等式为|x－2|＋|x－a|≤|2x＋1|＋|x－a|＋m2＋32m，即|x－2|－|2x＋1|≤m2＋32m，设g(x)＝|x－2|－|2x＋1|，则g(x)max≤m2＋32m，由g(x)＝x＋3，x－12，－3x＋1，－12≤x≤2，－x－3，x2，所以g(x)max＝g－12＝52，所以52≤m2＋32m，即2m2＋3m－5≥0，解得m≤－52或m≥1，所以实数m的取值范围是m≤－52或m≥1.3.(2019·全国Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥13成立，证明：a≤－3或a≥－1.(1)解由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知，得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥43，当且仅当x＝53，y＝－13，z＝－13时，等号成立.所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为43.(2)证明由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，故由已知，得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥＋a23，当且仅当x＝4－a3，y＝1－a3，z＝2a－23时，等号成立.因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为＋a23.由题设知＋a23≥13，解得a≤