2020年高考文科数学《不等式选讲》题型归纳与训练

12020年高考文科数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一解绝对值不等式例1设函数()12fxxx（1）解不等式()3fx.（2）若()fxa对xR恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）03－，，＋；（2）实数a的取值范围是1-，【解析】(1)因为()12fxxx.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23xxxxx所以当1x＜时，323x－＞，解得0x＜；当12x时，()3fx＞无解；当2x＞时，233x－＞，解得3x＞.所以不等式()3fx＞的解集为03－，，＋.(2)因为()fx＝.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23xxxxx所以()fxmin＝1.因为()fxa＞恒成立，所以1a＜，即实数a的取值范围是1－，.【易错点】注意定义域取值范围.【思维点拨】试题以考查不等式的性质为目标，以绝对值不等式求解与证明问题为背景，所涉及到的知识均为考生熟悉的，易于入手，可从不同角度思考分析，使得不同基础和能力的考生都有所收获.题型二解绝对值三角不等式例1已知函数()12fxxx，若不等式||||||()ababafx＋＋－对0aabR，、恒2成立，求实数x的范围.【答案】15{|22xx【解析】由xfababa且0a得xfababa.又因为2ababaababa，则有2()fx.解不等式|12|2xx－＋－得1522x.【易错点】注意等号成立的条件【思维点拨】1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.含有两个绝对值符号的不等式，如cbxax和cbxax型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.题型三利用绝对值不等式求参数范围例1设函数，Rx．（1）当3a时，求不等式7xf的解集；（2）对任意Rx恒有3xf，求实数a的取值范围．【答案】0|{xx或}2x，,2【解析】（1）当时，212fxxxaa3a174,2135,22341,2xxfxxxx3所以的解集为（2）由恒成立，有，解得，所以的取值范围是【易错点】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及绝对值不等式及不等式证明等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.【思维点拨】绝对值不等式的解法中，ax的解集是aa,；ax的解集是,,aa，它可以推广到复合型绝对值不等式axbc，axbc的解法，还可以推广到右边含未知数x的不等式.题型四用放缩法、反证法证明不等式例1已知abR，，且1ab＋＝，求证：2225(2)(2)2ab＋＋＋【证明】方法一：(放缩法)因为1ab＋＝，所以左边＝22222(b2)125(2)(2)2[][()4]222aabab＋＋＋＋＝＋＋＝＝右边.方法二：(反证法)假设2225(2)(2))2ab＋＋＋＜，则2225 4()82abab＋＋＋＋＜.由1ab＋＝，得1ba＝－，于是有2225(1)122aa＋－＋＜.所以21()02a－＜，这与21()02a－矛盾.故假设不成立，所以2225(2)(2))2ab＋＋＋.【思维点拨】根据不等式左边是平方和及1ba这个特点，选用重要不等式222 2()2abab＋＋来证明比较好，它可以将具备22ab＋形式的式子缩小.7fx02xxx或2122121fxxaxaxaxaaa3fx13aa2aa2,4而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件1ab＋＝，得到关于a的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【题型归纳】题型一绝对值不等式、均值不等式1.【题干】已知函数21xxmxf，Rm，且01xf的解集为1,0.（1）求m的值；（2）若a，b，c，x，y，Rz，且mcbazyx222222，求证:1czbyax.【答案】（1）2121|mxmx（2）见解析【解析】（1）mxxxf|1|||01当1m时，1|1||xx，1|1||xx的解集为空集，不符合题意当1m时①021,210xmmxx时，得②恒成立时，得1110mmxxx③121,211xmmxx时，得综上：21,21|1|||mmmxx的解集为由题意得：1121021mmm（2）zcczbybyaxax2,2,2222222czbyaxczbyax22222221222222cbazyx22czbyax1czbyax5题型二绝对值不等式的解法、柯西不等式,或均值不等式求最值,以及绝对值不等式解法1.【题干】.已知函数12xxf．（1）求不等式1xxf的解集；（2）若1ba，baabxfxf221对任意正实数a，b恒成立，求实数x的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为1xxf所以1121xxx,不等式1xxf的解集为：20|xx(2)因为1ba，且a，b为正实数,1222bababaab当且仅当ba时等号成立.因为baabxfxf221对任意正实数a，b恒成立,所以11xfxf当21x时不等式不成立；当2121x时解集为4121|xx；当21x时不等式恒成立解集21|xx.综上不等式解集为41|xx.题型三利用绝对值不等式求参数范围1.【题干】设函数．（1）求不等式的解集；02xx14xx()222fxxx()2fx6（2）若，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1),(2)【解析】（1），当当，当，。综上所述．（2）易得，若，恒成立，则只需解得，。，综上所述．2.【题干】已知函数()2123fxxx.（1）求不等式()6fx的解集；（2）若关于x的不等式22()log(3)2fxaa恒成立，求实数a的取值范围.[来源:学&科&网]【答案】（1）12xx；（2）10a或34a.【解析】（1）原不等式等价于32(21)(23)6xxx或1322(21)(23)6xxx或27,()2xRfxttt40,3322t4,1()3,124,2xxfxxxxx1,42,6xxx12,x32x223x2x42,2xx263xxx或min()(1)3fxf211,()2xRfxtt22min7()3,2760,2fxtttt322t322t712(21)(23)6xxx，解得：322x或1322x或112x.即不等式的解集为12xx.（2）不等式22()log(3)2fxaa等价于22log(3)22123aaxx，因为2123(21)(23)4xxxx，所以()fx的最小值为4，于是22log(3)24aa，即2230340aaaa，所以10a或34a3.【题干】.已知函数21fxxax．（1）解关于a的不等式12f；（2）若关于x的不等式2fx恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）4a或0a；（2）2a或6a.【解析】（1）12112faa，224aa或0a（2）当2a时，31,21,1231,1axaxafxxaxxax可知fx的最小值为12622aafa，则此时6a；当2a时，31,11,1231,2xaxafxxaxaxax，可知fx的最小值为12222aafa，则此时2a综上：2a或6a.