《导数与函数的单调性》课件

本课时要求学生理解函数单调性与导数的关系，会求函数的单调区间，而这种关系的基本思想是数形结合。由于学生刚刚接触导数的应用，所以他们在利用导数研究函数的单调性、求单调区间的水平上都还有一定的差距。学生已有的基础是基本初等函数的图像和性质，之前又学习了导数的概念、计算、几何意义等内容。所以，在知识储备方面，学生已经具备足够的认知基础，因此要充分利用这些基础，本节课的教学思路是由“形”到“数”，再由“数”到“形”的数形结合思想。综上，本节课的教学重点是：利用导数判断函数的单调性，会求函数的单调区间；教学难点是：探索函数单调性与导数的关系.问题1．函数单调性的定义是什么？一般地，在给定区间上任取两个自变量21,xx，当21xx时，若)()(21xfxf，则f(x)在这个区间上单调递增.若)()(21xfxf，则f(x)在这个区间上单调递减.问题2．导数的定义与几何意义是什么.00()()'()=limlimxxyfxxfxfxxx几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.用定义法判断函数单调性的步骤：（1）在给定区间内任取x1x2;（2）作差f(x1)-f(x2);（3）变形;（4）判断符号;（5）下结论。如何确定函数32()233616fxxxx在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递减？用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，是否有更为简捷的方法呢？如何确定函数32()233616fxxxx在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递减？问题1．函数单调性的定义是什么？一般地，在给定区间上任取两个自变量21,xx，当21xx时，若)()(21xfxf，则f(x)在这个区间上单调递增.若)()(21xfxf，则f(x)在这个区间上单调递减.问题2．导数的定义与几何意义是什么.00()()'()=limlimxxyfxxfxfxxx几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，是否有更为简捷的方法呢？于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？下面我们就研究单调性与导数有什么关系?如何确定函数32()233616fxxxx在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递减？（1）自主探究，大胆猜想分析下列函数的单调性与其导数正负的关系并完成下表：xyy=1xOxyy=xOxyy=2xOxyy=(12)xO342xxy观察函数的图像，分析函数单调性与其导数正负的关系（2）追踪成果，深入探究问题1：我们回到单调性定义，以增函数为例，观察12xx，12()()fxfx的正负符号，如何用数学式子表示？同号，可以用0)))(()((2121xxxfxf表示.平均变化率0xy，就是区间内任取两点的平均变化率大于零，也就是割线斜率大于0.问题2：还可以用其他方法表示吗？0)()(2121xxxfxf问题3：结合上一章的变化率，观察这个式子和变化率有什么联系呢？（3）深入思考，揭示本质问题4：既然是“任取”，那么我们干脆把两个点无限靠近，大家觉得可以得到什么.瞬时变化率，就是某点切线的斜率，也就是区间内任意一点处的导数都大于零.1212()()0'()0()fxfxfxfxxx为增函数（3）深入思考，揭示本质几何画板演示1.函数单调性与其导数正负的关系：()(,)fxab设函数在定义域内的某个区间上可导,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减，函数为常函数.()fx()fx如果在某个区间内恒有，则是什么函数？'()0fx例1、证明：函数f(x)＝lnxx在区间(0，e)上单调递增．证明∵f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝x·1x－lnxx2＝1－lnxx2.又0xe，∴lnxlne＝1.∴f′(x)＝1－lnxx20，故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数．[思路点拨]利用函数单调性与导数间的关系进行判断．例2、求函数32()233616fxxxx的单调区间.思路点拨：先求函数定义域求导令'()0fx，得函数增区间；令'()0fx，得函数减区间写出结论例2、求函数32()233616fxxxx的单调区间.解：由导数公式表和求导法则可得2'()66366(2)(3)fxxxxx当(,2)(3,)xx或时，'()0fx，因此，在这两个区间上，函数是增加的；当(23)x，时，'()0fx，因此，在这个区间上，函数是减少的.所以，函数32()233616fxxxx的递增区间为(,2)(3,)和，递减区间为(23)，练习：求下列函数的单调区间.(1)()ln(2)()1xfxxxfxex2.利用导数求函数单调区间的一般过程：先求函数f(x)的定义域求出导数f'(x)解不等式f'(x)0得函数单调递增区间解不等式f'(x)0得函数单调递减区间规范写出单调区间判断f'(x)的正负函数单调性决定了函数图像的大致形状，如何根据导数信息来画函数的简图呢？2'()0;23'()0;3'()032'()0.xfxxfxxfxxxfx当时，当时，当时，；当或时，例3、已知函数f(x)的导函数f'(x)满足下列信息：试画出函数f(x)图像的大致形状.yOxA变式练习1：已知函数f(x)的导函数的图像如下图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是())('xf变式练习2：函数()yfx在定义域3(,3)2内的图像如图所示．记()yfx的导函数为'()yfx，则'()0fx的解集为（）A．[，1]∪[2，3）B．[－1，]∪[，]C．[，]∪[1，2）D．（，－1]∪[，]∪[，3）A问题1：函数的单调性与其导函数正负有什么关系？问题2：我们在探究函数单调性与导数的关系时，用了哪些思想方法？问题3：怎样利用导数求函数的单调区间，需要注意什么？必做：求下列函数的单调区间（1）()lnfxxx（2）1()fxxx选做：求函数1)(23mxxxf的单调减区间.思考：如果函数3()=fxaxx在R上是增函数，则a的取值范围是多少？