第十一章_物流运筹学__对策论

第十一章对策论矩阵对策及其解法其他类型对策问题对策论在物流企业竞争策略分析中的应用知识目标了解对策论模型的三要素，掌握矩阵对策的模型、基本定理及解法;了解其他类型对策，能够用所学对策论知识解决一些简单的实际问题.技能目标根据实际问题建立支付矩阵(建模);根据最小最大原则、最大最小原则、优超原则等，利用图解法和线性规划法求出矩阵对策的最优策略和对策值.第一节矩阵对策及其解法本节的主要内容•对策现象的三要素及其分类•矩阵对策的数学模型•最优纯策略•混合策略和混合扩充•矩阵对策基本定理•矩阵对策的求解对策现象的三要素及其分类对策现象三个基本要素：局中人(players)、策略集(strategies)和支付函数（赢得函数）(payofffunction)。对策现象的分类：根据局中人的数量分为“两人对策”和“多人对策”；根据局中人之间是否允许合作分为“合作对策”和“非合作对策”；根据局中人的策略集中的策略个数可分为“有限对策”和“无限对策”；根据局中人的支付函数的代数和是否为零可分为“零和对策”和“非零和对策”等。矩阵对策的数学模型矩阵对策就是有限两人零和对策。即参加对策的局中人只有两个，双方的利益是完全对抗的；每个局中人都有有限个可供选择的策略；且在任一局势（在对策论中，从每个局中人的策略集中各取一个策略组成的策略组）中，一个局中人的所得即为另一个局中人的所失，两个局中人的得失之和总等于零。对于一个矩阵对策，当其3个基本要素确定后，这个对策的数学模型也就给定了。如果给定了局中人Ⅰ、Ⅱ的纯策略集合分别为S1、S2，局中人的支付矩阵为A，则把这个矩阵对策的数学模型记为G={Ⅰ，Ⅱ；S1；S2；A}或G={S1，S2；A}【例11-2】（“石头、剪刀、布”游戏）每个人都可能玩过这种游戏。石头击败剪刀，剪刀战胜布，而布又胜过石头。这里也是两个局中人：局中人Ⅰ、Ⅱ，双方各有3个策略，策略1代表出石头，策略2代表出剪刀，策略3代表出布。假定胜者得1分，负者得-1分。策略一样，就算“平局”，双方都不得分。取S1={石头、剪刀、布}，S2={石头、剪刀、布}，则局中人Ⅰ的支付矩阵A为011101110A最优纯策略1111maxminminmaxijijjnjnimimaa**ijaG对策的值——一个矩阵对策G，如果其支付矩阵A的元素满足：矩阵对策G的鞍点——如果纯局势使则称为对策G的鞍点，也称它是对策G在纯策略中的解，此时与分别为局中人Ⅰ和局中人Ⅱ的最优纯策略。则称这个值V为矩阵对策G的值。的值V**(,)ij**(,)ij*i*j5173251619404A【例11-3】对于一个矩阵对策G={Ⅰ，Ⅱ；S1，S2；A}，其中求双方的最优策略。112342123{,,,},{,,}SS定理1：为对策G的鞍点的充要条件是对于任意的i，j，有，即鞍点具有这样的性质：是第j*列的最大元素，是第i*行的最小元素。也就是说，对于纯局势，有下式成立：**ija**11minmaxijijjnimaa**(,)ij****ijijijaaa**(,)ij**(,)ij也都是G的鞍点（称为鞍点的可(,)ij(,)kt(,)it(,)kj若和都是矩阵对策G的鞍点，和则交换性），且在鞍点处的值都相等（称为鞍点的无差别性）。定理2：【例11-6】某单位采购员在秋天时要决定冬季取暖用煤的采购量。已知在正常气温条件下需要煤15吨，在较暖和较冷气温条件下分别需要煤10吨和20吨。假定冬季的煤价随天气寒冷程度而变化，在较暖、正常、较冷气温条件下，每吨煤的价格分别为500元、750元和1000元。又设秋季时每吨煤的价格为500元，在没有关于当年冬季气温情况准确预报的条件下，秋季时应采购多少吨煤能使总支出最少？混合策略和混合扩充12{,;}GSSA12(,,,)mXxxx1(0,1)miiixx12,,,mxxx12,,,m12(,,,)mXxxx•混合策略——对于矩阵对策，是S1上的一个概率分布，局中人Ⅰ分别以采用策略，则称是局中人Ⅰ的一个混合策略。概率12{,;}GSSA*1121*2121**12(,,,|10,1,2,,,(,,,|10,1,2,,,(,)|,,mmiiinnjjjSxxxxximSyyyyyjnEEXYXSYS且且***12{,;}GSSEG•混合扩充——给定一个矩阵对策。设S*1是S1上一切混合策略的集合，S*2是S2上一切混合称为的混合扩充。策略的集合：定理3对于给定的矩阵对策12{,;}GSSA，12*{*,*;}GSSE为其混合扩充。设**1XS，**2YS，则*X，*Y为G的最优解的充要条件是下列三个条件中的任一个成立：（1）对任*1XS，*2YS，有****(,)(,)(,)EXYEXYEXY；（2）对任1,2,,im，1,2,,jn，有****11(,)nmijjijijiayEXYax（11-5）（3）存在数V，使得**,XY是下列两组不等式的解，且**(,)VEXY：11(1,2,,);0,1mmijiiiiiaxVjnxx（11-6）11(1,2,,);0,1nnijjjjjjayVimyy（11-7）矩阵对策基本定理任何一个矩阵对策G，一定存在混合策略解*X*Y，。定理4（基本定理）：矩阵对策的求解•图解法12(,;)GSSA2311752A【例11-7】用图解法求解矩阵对策其中，•线性方程组法12(,,)GSSA111113121A【例11-9】给定一个矩阵对策，求对策G的值与解。其中•线性规划法线性规划法可以求解任一矩阵对策。12{,;}GSSA111201A【例11-10】给定一个矩阵对策，求对策G的值与解，其中第二节其他类型对策问题本节的主要内容•二人无限零和对策•多人非合作对策•合作对策二人无限零和对策**(,)ij12{,;}GSSH12,ijSS****(,)(,)(,)ijjijiHHH定理7：为在纯策略意义下的解，有的充要条件是：对任意**(,)XY12{,;}GSSH,XXYY****(,)(,)(,)HXYHXYHXY定理8：为对策的解的充要条件是：，有对任意定理9：对任何连续对策，一定有12vv。多人非合作对策非合作n人对策在混和策略意义下的平衡局势一定存在。2221111112AB【例11-13】求解阶双矩阵对策，其中定理10（Nash定理）：第三节对策论在物流企业竞争策略分析中的应用•第三方物流契约的双方之间的博弈收益矩阵混合策略解因此可以得到：同理可得：1/2PMFPC2/2/2FCMFPC1/2/2CNFDC2/2FDCNFDC解的含义本章小结•本章主要阐述了对策现象的基本要素、矩阵对策的数学模型、矩阵对策的最优纯策略和最优混合策略求法。此外，简单介绍了二人无限零和对策、多人非合作对策、合作对策等典型的非矩阵对策及其求解问题。最后，对策论在物流企业竞争策略分析中的应用。•本章的重点是矩阵对策及其最优策略（包括最优纯策略和最优混合策略）的一般求解方法。难点是物流领域竞争现象建模与竞争策略的优化分析。案例分析Rhenania：运用动态多层模型优化邮购业务1．问题描述Rhenania是德国一家直接邮购公司。1996年，Rhenania的CEO面临着多重挑战：销量持续下滑、市场份额萎缩和利润下降。尽管Rhenania已按标准的营销方法来管理客户联系工作。、为每类邮购目录竞选最佳客户，为每个邮件选择最好的顾客，公司经营情况还是低迷不振。而且当Rhenania努力增加单个邮购订单的利润时，其客户基数还出现了萎缩。公司求助于优化和战略计划方面的运筹学技术，来扩大其客户基数，增加公司利润。2．解决方案Rhenania的营销主管在运筹学建模方面具有很强的背景。他意识到，邮购公司最大化单个邮购订单的传统做法实际上是一个次优选择，因为它削弱了活跃客户（在最近12个月内下过定单的客户）的基础，从长远来看会减少公司的利润。他说服公司新任CEO转而采用与传统做法背道而驰的运筹学优化方法。他领导的运筹团队开发了一个动态多层建模方法（DMLM），以此来确定邮寄邮购目录的最佳频率，根据顾客细分来优化邮购产品组合，并确定客户何时接到“重新激活包”而不是目录。3．成效评价在一年之内，Rhenania从原来目录由购方式中转变过来，其在德国的市场地位由第五提升到了第二。这种方法显然非常有效，以至于Rhenania兼并了两个竞争者，其中包括世界级出版巨头SpringerVerlag的一个子公司。Rhenania的CEOFrederick写道：“今天，DMLM已经在Rhenania得到完全的实施。邮寄的每一个地址都经过这一算法的选择。自从实行以来，和大多数竞争对手相比，的表现确实好得多。现在正在获得本行业之外的市场份额。不久以前还在通过兼并获得市场份额。一模型不但在经济上带来了如此显著的改进，他还是一个很好的预测工具，能看到未来12月内活跃客户、销售额和利润的变化情况。”•问题利用你所学的运筹学知识，提出自己的和理化建议与改进方法，以增加管理效益。实训设计•实训目标掌握矩阵对策问题模型的建立和线性规划法解法•实训内容与要求在竞争中根据历史数据和调研获得矩阵对策问题的支付矩阵。建立相应的矩阵对策问题的数学模型，并利用线性规划法求解，给出竞争最优策略和最优值。•成果与检验能够建立相应的矩阵对策问题的模型，会利用线性规划法求解矩阵对策问题，得出最优策略和最优值。A,B两家公司的产品作竞争性推销，他们各控制市场的50%，最近这两家公司都改进了各自的产品，准备发动新的广告宣传。如果这两家公司都不做广告，那么平分市场的局面将保持不变，但如果有一家公司发动一次强大的广告宣传，那么另一家公司将按比例地失去一定数量的顾客。市场调查表明，潜在顾客的50%可以通过电视广告争取到，30%可以通过报纸争取到，其余的20%可通过无线电广播争取到，现每一家公司的目标是要选择最有利的宣传手段。（1）把这个问题表达成一个二人零和的对策，求出局中人A的损益矩阵。（2）求两家公司的最优策略和对策值。•解（1）公司A的损益矩阵如表11-5所示：策略B12345678qA10-50-30-20-80-70-50-100-10025002030-30-200-50-50330-20010-50-40-20-70-70420-30-100-60-50-30-80-8058030506001030-20-20670204050-10020-30-3075002030-30-200-50-50810050708020305000*1005070802030500*maxijia表11-5损益矩阵•（2）两家公司的最优纯策略都是策略8，即同时进行电视、报纸和无线电广播的广告宣传，对策值V=0。