1.4.2-单位圆与周期性-4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.2单位圆与周期性4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质(1,0)OPαMxy前面我们学习了周期现象，角的一边可以绕角的顶点旋转，得到了终边相同的角，如图所示，今天我们学习正弦函数、余弦函数的周期性及性质.1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.（重点）2.通过正弦函数值的变化，发现并探索正弦函数的性质.（重点）3.理解并掌握正弦函数的定义域、值域、最大（小）值、单调性、周期性.（难点）观察右图，在单位圆中，由任意角的正弦函数、余弦函数定义不难得到下列事实：终边相同的角的正弦函数值相等，即；终边相同的角的余弦函数值相等，即.sin(x2k)sinx,kZcos(x2k)cosx,kZ探究点1周期函数把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数.正弦函数、余弦函数是周期函数，称为正弦函数、余弦函数的周期.例如，等都是它们的周期.其中是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期.2k(kZ,k0)4,2,2,42一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期.说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期.特别提醒：1.T是非零常数.2.任意x∈D都有x+T∈D,T≠0，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件.3.任取x∈D，就是取遍D中的每一个x，可见周期性是函数在定义域上的整体性质.理解定义时，要抓住每一个x都满足f(x+T)=f(x)成立才行.4.周期也可推进，若T是f(x)的周期，那么2T也是y=f(x)的周期.1.函数f(x)=c(c为常数),x∈R，问函数f(x)是不是周期函数，若是，有无最小正周期.答:是，无最小正周期.2.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立？如果成立，能否说明120°是正弦函数y=sinx,x∈R的一个周期？为什么？答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每一个x.思考例求下列三角函数值：（1）（2）49cos)611sin(解：（1）224cos)24cos(49cos练习求下列三角函数值319sin)431cos(2322216sin)26sin()611sin(（2）探究点2：正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx的基本性质：由上节点学习知道：定义域为全体实数R（1）定义域(1,0)OP(cosx,sinx)xMxy（2）值域、最大（小）值观察下图，设任意角x的终边与单位圆交于点P(cosx,sinx)，当自变量x变化时，点P的横坐标是cosx，|cosx|≤1，纵坐标是sinx,|sinx|≤1这说明，正弦函数、余弦函数的值域为[-1,1]x-2kkZ12π当π（）时，正弦函数取得最小值.x2kkZ12π当π（）时，正弦函数y=sinx取得最大值；x2kkZcos1当π（）时，余弦函数y=x取得最大值；x(2k1)kZ1当π（）时，正弦函数取得最小值.(4)单调性观察右图，在单位圆中，设任意角x的终边与单位圆交于点P(cosx,sinx)，因此，正弦函数在区间上是增加的，在区间上是减少的.]2,2[]23,2[思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢？例1.写出下列函数取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么.(1)ycosx1,xR.(2)y3sinx,xR.解：(1)因为y=cosx+1，x∈R的最大值、最小值由y=cosx决定，所以使函数取得最大值的的集合为ycosx1,xRxxx2k,k,Z使函数取得最小值的的集合为ycosx1,xRxxx2k,k,Z最大值为112.最小值为110.所以使函数取得最大值的的集合是最大值为3.xx2k,k,2Zy3sinx,xRxxk,k2Z（2）函数y=sinx，x∈R取得最大值、最小值时，函数则取得最小值、最大值，y3sinx,xR使函数取得最小值的的集合是，最小值为-3.y3sinx,xR[2k,2k](k)22Z3[2k,2k](k)22Z2k,k2Z1.对于函数与y=-2sinx,当x=______________时，y取最大值_____，当x=_____________时，y取最小值____.22k,k2Z-2-2k,k2Z2.求下列函数的值域:[2k,2k](k)22Z3[2k,2k](k)22Z[2k,2k1](k)Z（）[2k-1,2k](k)Z（）1.了解周期函数的定义.2.知道正弦函数、余弦函数都是周期函数，并知道它的最小正周期为2π.3.理解正弦函数、余弦函数的基本性质回顾本节课的收获不辞艰险出夔门，救国图强一片心；莫谓东方皆落后，亚洲崛起有黄人.——吴玉章