数字电路-第二章--逻辑代数与逻辑函数化简

第二章逻辑代数与逻辑函数化简逻辑代数基本逻辑运算逻辑代数的基本定律和规则逻辑函数的代数法化简逻辑函数的卡诺图法化简§2.1逻辑代数逻辑变量（自变量）普通代数的自变量具有一定取值范围，表达某一意义。例如时间t，取值范围[0,+∞)，表示时间的变化。逻辑变量的取值范围为0和1，表示两种状态。逻辑函数（因变量）普通是随着它的自变量变化的因变量，具有一定的值域。逻辑函数是随着逻辑变量变化的函数，它的值域为0和1。CBA,,),,(CBAF与门国标符号与门国际流行符号ABBAFABFABCABCF§2.2基本逻辑运算——与开关A开关B灯F断断断通通断通通灭灭亮灭ABABF000110110010真值表0AB&§2.2基本逻辑运算——或开关A开关B灯F断断断通通断通通灭亮亮亮AB或门国标符号AB或门国际流行符号ABABF000110110111真值表BAFBAFABCCBAF§2.2基本逻辑运算——非A开关A灯F关亮开灭AF0110AAFAAF非门国标符号非门国际流行符号ABAB____ABF_______BAFABAB____ABF_______BAF与非门或非门1&111&1§2.2基本逻辑运算——异或、同或、与或非异或：输入的两个变量相同时，输出为0；相反时，输出为1。BABAF____AB=1BABAF同或：输入的两个变量相同时，输出为1；相反时，输出为0。BABAF_______ABBAF=1与或非：CDABF1&ABCDAB1&1&1多变量的异或DCBAF=1AB=1CD=1F=1=1=1ABCDFABCDF000001000111101101001011101111111101001001001结论：多个变量异或时，变量中有奇数个1时，结果为1；变量中有偶数个1时，结果为0。§2.3.1逻辑代数的基本定律逻辑函数的相等：逻辑代数的基本定律：例2.3.1：P19&1BCA&&ABAC1真值表相同P21，熟记)CB(AFACABG例2.3.2：摩根定理________BAAB___________BABA_________________CBAABC___________________________CBACBA反演规则§2.3.2逻辑代数的基本规则代入规则BAAB________ACFABACBAC0DBCACF,BB,AA10FDCBCA1对偶规则：对偶式0DBCACF10相等的逻辑函数的对偶式也相等'FDCBCA1§2.4.1逻辑函数的基本形式CAABF与或式：先与后或&&1)BA)(CA(F&11一个逻辑函数可以有许多不同的表达式，其基本形式有：在电路上可以用与门和或门实现。或与式：先或后与在电路上可以用或门和与门实现。ABACCAABFACAB)BA)(CA(FCAABF与非式：只有与非运算在电路上可以用与非门实现。&&&ABAC或非式：只有或非运算在电路上可以用或非门实现。BACAFACAB与或非式：只有与或非运算在电路上可以用与或非门实现。CABAF1&111ABACCAABFBACAFCABAF§2.4.2逻辑函数的转换通常是将“与或式”转换为其他形式与或式转换为或与式CAABF的对偶式：F)CA)(BA('FBCACBAACBA多余项定律)''F(F则)CA)(BA(与或式转换为与非式CAABFCAAB摩根定律或与式转换为或非式或与式转换为与或非式)CA)(BA(F)CA)(BA(CABA)CA)(BA(FCABACABA§2.4.3逻辑函数的代数法化简化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。化简的方法：综合利用P21表2.3.4的基本定律并项法：利用1AA吸收法：利用AABA消去法：利用BABAA配项法：利用F)AA(F化简的标准：常用的函数形式为与或式，最简的与或式应该是：乘积项的数目最少，同时每个乘积项中变量的个数最少。例2.4.1DEFGEFBACEFBDCAABDAADFDEFGEFBACEFBDCAABADEFGEFBACEFBDCAABAADEFGEFBBDCAADEFGEFBBDCAEFBBDCA1DDAAAAABACACAA)EF(BBDG)EF(D)EF(BBD例2.4.2)GF(ADEDBDBCBCBCAABF)GF(ADEDBDBCBCB)CB(A摩根定律)GF(ADEDBDBCBCBCBAACBACBCB)GF(ADEDBDBCBCBAAABADBDBCBCBA1CC,1DD)CC(DBDBCB)DD(CBADCBDBCDBCBDCBCDBADBCDCBCBDBADC)BB(CBDBADCCBDBA)DECBA()ED)(CBA(F例习题二2.6(8)摩根定律摩根定律BCA)CA)(BA()DECBA()DE)(ABC()DEABC()DE)(ABC()DEABC()DEABC(摩根定律DE例习题二2.6(10)CFBECBDCBBCACBAFCFBECBDCBC)BA(BACFBECBDCBCBAECBDCBCBA)BEDB(CCBADBBECBABABAA§2.5.1逻辑函数的最小项表达式公式化简法评价：优点：变量个数不受限制。缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。00000000000000000000000000000000000000000000000000000000§2.5.1逻辑函数的最小项表达式最小项：含有逻辑问题的全部变量，且所有变量都以原变量或反变量的形式仅出现一次。n个变量共有个最小项。ABC000001010011101101110111n2CBACBACBABCACBACBACABABC01234567111111110m1m2m3m4m5m6m7m§2.5.1逻辑函数的最小项表达式最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。最小项可用“mi”表示，下标“i”即最小项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。最小项性质：对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；任意两个不同的最小项之积恒为0；变量全部最小项之和恒为1。逻辑函数的最小项表达式：全部以最小项组成的与或式CBCBAAB)C,B,A(FCB)AA(CBA)CC(ABCBACABCBACABABC7652mmmm)7,6,5,2(m§2.5.2逻辑函数的卡诺图逻辑函数的卡诺图：卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是：n变量的卡诺图有2n个小方块（最小项）；最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。几何相邻的含义：一是相邻——紧挨的；二是相对——任一行或一列的两头；三是相重——对折起来后位置相重。§2.5.2逻辑函数的卡诺图卡诺图的画法：3变量的卡诺图有23个小方块；几何相邻的必须逻辑相邻：变量的取值按00、01、11、10的顺序（循环码）排列。正确认识卡诺图的“逻辑相邻”：上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。对角线上不相邻。§2.5.2逻辑函数的卡诺图ABC0001111001m7m3m6m1m0m4m5m2卡诺图的画法：从最小项表达式画卡诺图把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入1，其余的小方块中填入0。§2.5.2逻辑函数的卡诺图1111ABC00011110010000)7,6,5,2(mCBCBAAB)C,B,A(F填写卡诺图的技巧CBDBACBADCACDB)D,C,B,A(FABCD0001111000011110CDBACDBACDBDCBADCBADCA1的格为，组合为：所有满足1C10ABCBA111111110001111000011110§2.5.4利用卡诺图化简逻辑函数ABCD把卡诺图上相邻的1用圆圈圈起来，按“从小到大”的顺序圆圈里尽可能包含最多的1，1的个数为，圆圈数尽可能少同一区域可以被重复圈每个1都要被圈到111111111CBA)DCCD(BAn2CB)DCDC)(ABBA(DB)CDDC)(BABA(DBCBCBAF则卡诺图法化简逻辑函数的步骤把逻辑函数写成最小项表达式画出卡诺图在对应最小项的位置填写1画圈（注意规则）将圈中的1合并成为“与”表达式将合并后的“与”表达式相或，即得到化简后的逻辑函数（2）利用卡诺图化简逻辑函数A．基本步骤：①画出逻辑函数的卡诺图；②合并相邻最小项（圈组）；③从圈组写出最简与或表达式。B．正确圈组的原则①必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相邻最小项；②每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次，但可以圈多次；③圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能大（消去的变量就越多）。C．从圈组写最简与或表达式的方法：①将每个圈用一个与项表示圈内各最小项中互补的因子消去，相同的因子保留，相同取值为1用原变量，相同取值为0用反变量；②将各与项相或，便得到最简与或表达式。用卡诺图化简逻辑函数Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)解：相邻相邻BCABDDBCBAY例1-11化简图示逻辑函数。解：多余的圈ABCDCACBACDAY11223344§2.5.6有“约束”的逻辑函数的化简“约束”是用来说明逻辑函数中各逻辑变量之间互相“制约”的概念。对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的(随意项、任意项)，或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许）出现(约束项)，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡诺图中用符号“×”表示，在标准与或表达式中用∑d（）表示。“约束条件”所含的最小项称为“约束项”，或“无关项”、“禁止项”§2.5.6有“约束”的逻辑函数的化简例2.5.3：如图电路，A、B、C、D是十进制数x的8421BCD编码，当x≥5时输出F为1。求F的最简与或表达式。ABCDF解：列真值表画卡诺图0001111000011110ABCD11111××××××xABCDF501011601101701111810001910011-1010×-1011×-1100×-1101×-1110×-1111×如何处理约束项0001111000011110ABCD111110001111000011110ABCD11111××××××BCABDAC