第2章数列的综合运用测试题(苏教版必修5)

数列的综合运用测试题A组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为46°，则最大角为_______．1.170°．【解析】由S5=5×46°+245d=540°得d=31°。∴a5=46°+4×31°=170°．2.已知f（n+1）=f（n）－41（n∈N*）且f（2）=2，则f（101）=_______．2.－491。【解析】f（n+1）－f（n）=－41，f（n）可看作是公差为－41的等差数列，f（101）=f（2）+99d=－491．3.a、b、c成等比数列，则f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有个。3.0.【解析】由已知b2=ac，∴Δ=b2－4ac=－3ac．又∵a、b、c成等比，∴a、c同号，∴Δ0．故没有交点。4.一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时．4.5.【解析】由题意，n小时后有2n人得知，此时得知信息总人数为1+2+22+…+2n=2n+1－1≥55．即2n+1≥56n+1≥6n≥5．5.等差数列{an}中，a1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_________项．5.6。【解析】由－5×11+21011d=55，得d=2．由an=5，an=a1+（n－1）d得n=6．6．在等差数列{an}中，a1=-25，S3=S8，则前n项和Sn的最小值为。A.-80B.-76C.-75D.-746．-75.【解析】由a1=-25,S3=S8,得d=5,所以Smin=S5=S6=-75.7．某市“十五”期间(2001～2005年)国内生产总值平均每年增长率为p,那么该市2005年国内生产总值比2000年国内生产总值增长的倍数为。7．(1+p)5-1.【解析】设2000年国内处产总值为a，则a(1+p)5为2005年国内生产总值，增长倍数为(1+p)5-1.8.在数列na中，*nN，若211nnnnaakaa（k为常数），则称na为“等差比数列”.下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0②等差数列一定是等差比数列③等比数列一定是等差比数列④等差比数列中可以有无数项为0其中正确的判断的序号是：。8.①④。【解析】①若k=0，则an+2-an+1=0,则an+1-an=0，分母不能为0；②an=0不适合；③an=2n不适合题意；④1，0，1，0，1，0，……符合题意。二．解答题(本大题共4小题，共54分)9.已知：数列{}na是首项为1的等差数列，且公差不为零。而等比数列{}nb的前三项分别是126,,aaa。（1）求数列{}na的通项公式na；（2）若1285kbbb，求正整数k的值9.解：（1）设数列{}na的公差为d，∵126,,aaa成等比数列，∴2216aaa∴2(1)1(15)dd∴23dd∵0d∴3d，∴1(1)332nann（2）数列{}nb的首项为1，公比为214aqa。∵121441143kkkbbb，∴41853k∴4256k∴4k，∴正整数k的值为4。10.已知α，β，г成公比为2的等比数列，α∈[0，2π]，且sinα，sinβ，sinг成等比数列。求α，β，г的值。解：α，β，г成公比为2即β=2α，г=4α，sinβ=sin2α=2sinαcosα，sinг=sin4α=2sin2αcos2α，且sinα，sinβ，sinг成等比数列即sin2β=sinαsinг.也即是sin22α=sinα×2sin2αcos2α，即sin2α=2sinαcos2α，即cosα=cos2α。2cos2α-cosα-1=0，解得cosα=1或cosα=-12。当cosα=1时，sinα=0与等比数列的项不为0矛盾。当cosα=-12时，∵α∈[0，2π]，∴α=23或43。∴α=23，β=43，г=83或α=43，β=83，г=163。11.某地区由于各种原因林地面积不断减少，已知2002年年底的林地面积为100万公顷，从2003年起该林区进行开荒造林，每年年底的统计结果如下：时间该林区原有林地减少后的面积该年开荒造林面积2003年年底99.8000万公顷0.3000万公顷2004年年底99.6000万公顷0.3000万公顷2005年年底99.4001万公顷0.2999万公顷2006年年底99.1999万公顷0.3001万公顷2007年年底99.0002万公顷0.2998万公顷试根据此表所给数据进行预测（表中数据可以按精确到0.1万公顷考虑）（1）如果不进行从2003年开始的开荒造林，那么到2016年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为多少万公顷？（2）如果从2003年开始一直坚持开荒造林，那么到那一年年底该林区的林地总面积达102万公顷？解（1）记2003年该林区原有林地面积为a1，到2016年年底该林区原有林地减少后的面积大约变为a14，从表中看出｛an｝是等差数列，公差d约－0.2，故a14=a1＋（n－1）d=99.8＋（14－1）(－0.2)=97.2所以到2016年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为97.2万公顷．（2）根据表中所给数据，该林区每年开荒造林面积基本是常数0.3万公顷，设2003年起，n年后林地总面积达102万公顷，结合（1）可知：99.8＋(n－1)(－0.2)＋n×0.3≥102n≥20即2022年年底，该林区的林地总面积达102万公顷．12.已知数列,nnab满足1116,3nnabaan，1112nnbb()nN。（1）求数列,nnab的通项公式；（2）求使得mmab的正整数m的集合M。12.解（1）∵13nnaan，∴13nnaan，2n。∴121321()()()nnnaaaaaaaa6(2)(1)(4)n(1)(24)16(7)922nnnn()nN。1n也适合。∴1(7)9()2nannnN111112222nnnnbbbb为公比的等比数列，bn-2=(6-2)(12)n-1.∴312()2nnbnN。（２）由（１）得1122336,4,3ababab．．．．．．．．．．．９分当4n时，21723()228nan是正整数n的增函数，43naa3122nnb是正整数n的减函数，452nbb这时nnab综上：，1,2,3M．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２分备选题：1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成A．511个B．512个C．1023个D．1024个1.512.【解析】a1=1，公比q=2．经过3小时分裂9次，∴末项为a10，则a10=a1·29=512．2.等差数列{an}中，S9=－36，S13=－104，等比数列{bn}中，b5=a5，b7=a7，则b6等于。2.±42。【解析】S9=－36a5=－4，S13=－104a7=－8b6=±75aa=±42．3．已知f（x+1）=x2－4，等差数列{an}中，a1=f（x－1），a2=－23，a3=f（x）．（1）求x值；（2）求a2+a5+a8+…+a26的值．解（1）∵f（x－1）=（x－1－1）2－4=（x－2）2－4∴f（x）=（x－1）2－4，∴a1=（x－2）2－4，a3=（x－1）2－4又a1+a3=2a2，解得x=0或x=3．（2）∵a1、a2、a3分别为0、－23、－3或－3、－23、0∴an=－23（n－1）或an=23（n－3）①当an=－23（n－1）时，a2+a5+…+a26=29（a2+a26）=2351②当an=23（n－3）时，a2+a5+…+a26=29（a2+a26）=2297．B组一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下：存期1年2年3年5年年利率（%）2.252.42.732.88某人在该段时间存入10000元，存期两年，利息税为所得利息的5%。则到期的本利和为________________元。（按石家庄质检改编）1.10456。【解析】10000×(1+2×2.4%)-10000×2×2.4%×5%=10456。2.设y=f(x)是一次函数，f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列，则nkkf1)2(=。2.n(2n+3)。【解析】由题意可设f(x)=kx+1,又f2(4)=f(1)f(13),得k=2.故f(x)=2x+1,f(2k)=4k+1.按等差数列求和，nkkf1)2(=n(2n+3)。3．在△ABC中,若sinB、cos、sinC成等比数列,则此三角形的形状是三角形。3.等腰三角形。提示:易知cos2=sinB·sinC,∴1+cosA=2sinBsinC,即1-cos(B+C)=2sinBsinC,即1-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC.∴1-cosBcosC=sinBsinC.∴cos(B-C)=1.∵0＜B＜π,0＜C＜π,∴-π＜B-C＜π，∴B-C=0,B=C.∴△ABC为等腰三角形.4．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a元/m2，再据楼层的不同上下浮动，一层价格为（a－d）元/m2，二层价格a元/m2，三层价格为（a+d）元/m2，第i层（i≥4）价格为［a+d（32）i－3］元/m2．其中a0，d0，则该商品房的各层房价的平均值为.4.a+101d［1－（32）17］．【解析】a4+a5+…+a20=17a+d321)32(13217。=17a+2d·［1－（32）17］。∴a1+a2+…+a20=20a+2d［1－（32）17］，∴平均楼价为a+101d［1－（32）17］．5.已知等差数列na的前n项和为21,nSana某三角形三边之比为234::aaa，则该三角形最大角为____。5.23。提示:因为数列na是等差数列,0a,2nSn，2343,5,7aaa，设三角形最大角为，由余弦定理，得1cos2，23。6．在计算“1223(1)nn”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：1(1)[(1)(2)(1)(1)],3kkkkkkkk由此得112(123012),3123(234123),3…1(1)[(1)(2)(1)(1)].3nnnnnnnn相加，得11223(1)(1)(2).3nnnnn类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)nnn”，其结果为6.1(1)(2)(3)4nnnn。【解析】类比推理如下：1123(12340123),41234(23451234),4…1(1)2)[(1)(2)(3)(1)(1)(2)].4nnnnnnnnnnn(相加，得123234(1)(2)nnn=1(1)(2)(3)4nnnn。二．解答题(本大题共2小题，共36分)7．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。(1)设全县面积为1，20