第2章数列单元测试(苏教版必修5)

数列单元练习1.在等比数列}{na中，若93a，17a，则5a的值为_____________。1.-3.提示：q4=19,q2=13.5a=-9×13=-3.2．在正整数100至500之间能被11整除的个数为.2.36.提示：观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、…它们构成一个等差数列，公差为11，数an=110+（n－1）·11=11n+99，由an≤500，解得n≤36．3．在数列{an}中，a1=1，an+1=an2－1（n≥1），则a1+a2+a3+a4+a5等于。3．－1.提示：由已知：an+1=an2－1=（an+1）（an－1），∴a2=0，a3=－1，a4=0，a5=－1．4．{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9=。4．33.提示：a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9成等差数列，故a3+a6+a9=2×39－45=33．5．正项等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则S4=。5．28.提示：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，即（S4－7）2=7（91－S4），解得S4=28或－21（舍去）．6．每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的43，若洗n次后，存在的污垢在1%以下，则n的最小值为_________．6.4.提示：每次能洗去污垢的43，就是存留了41，故洗n次后，还有原来的（41）n，由题意，有：（41）n1%，∴4n100得n的最小值为4．7．设an=－n2+10n+11，则数列{an}从首项到第几项的和最大是第项。7．第10项或11项.提示：由an=－n2+10n+11=－（n+1）（n－11），得a11=0，而a100，a120，S10=S11．8．设函数f（x）满足f（n+1）=2)(2nnf（n∈N*）且f（1）=2，则f（20）=。8.97.提示：f（n+1）－f（n）=2n1921)19()20(221)2()3(121)1()2(ffffff相加得f（20）－f（1）=21（1+2+…+19）f（20）=95+f（1）=97．9.某大楼有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层到20层，每层一人，而电梯只允许停一次，可只使一人满意，其余18人都要上楼或下楼。假设乘客每向下走一层不满意度为1，每向上走一层不满意度为2。所有人不满意之和为S，为使S最小，电梯应停在第层。9.14．提示：设停在第k层，不满意度为S=1+2+…+(k-2)+2(1+2+3+..+20-k)=21(3k2-85k+842),k=14时S最小。10．等比数列{an}，an0，q≠1，且a2、21a3、a1成等差数列，则5443aaaa=。10．215.提示：依题意：a3=a1+a2，则有a1q2=a1+a1q，∵a10，∴q2=1+qq=251．又∵an0．∴q0，∴q=215，5443aaaa=q1=215．11．已知an=nnn10)1(9（n∈N*），则数列{an}的最大项为_______．11.a8和a9．提示：设{an}中第n项最大，则有11nnnnaaaa即11119(1)910109(1)9(2)1010nnnnnnnnnnnn，∴8≤n≤9。即a8、a9最大．12．在数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1=13Sn(n≥1),则an=。12.21n1,14(),2.33nn，提示：∵an+1=Sn,∴an=Sn-1(n≥2).相减得,an+1-an=an,∴(n≥2)，∵a2=S1=×1=,∴当n≥2时，an=·（）n-2.13．将给定的25个数排成如图所示的数表，若每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a33=1,则表中所有数之和为__________.13．25.提示:第一行的和为5a13,第二行的和为5a23，…，第五行的和为5a53,故表中所有数之和为5(a13+a23+a33+a43+a53)=5×5a33=25.14．函数()fx由下表定义：若05a，1()nnafa，0,1,2,n，则2007a．14．4.提示：令0n，则10()2afa，令1n，则21()(2)1afaf，令2n，则32()(1)4afaf，令3n，则43()(4)5afaf，令4n，则54()(5)2afaf，令5n，则65()(2)1afaf，…，所以20075014334aaa．二．解答题15．数列3、9、…、2187，能否成等差数列或等比数列？若能．试求出前7项和．【解】（1）若3，9，…，2187，能成等差数列，则a1=3，a2=9，即d=6．则an=3+6（n－1），令3+6（n－1）=2187，解得n=365．可知该数列可构成等差数列，S7=7×3+267×6=147．（2）若3，9，…，2187能成等比数列，则a1=3，q=3，则an=3·3n－1=3n，令3n=2187，得n=7∈N，可知该数列可构成等比数列，S7=31)31(37=3279．16．在数列{}na中，14nnan，*nN．（1）求数列{}na的前n项和nS；（2）证明不等式14nnSS，对任意*nN皆成立。16．（1）数列{}na的通项公式为14nnan所以数列{}na的前n项和1(14)(1)41(1)14232nnnnnnnS（2）任意*nN，1141(1)(2)41(1)44()3232nnnnnnnnSS211(34)(34)(1)22nnnn当1n时，1212121(11)(42)8,44(11)8,4nSSaaSSS；当2n且*nN时，340,10nn，∴1(34)(1)02nn，即14nnSS所以不等式14nnSS，对任意*nN皆成立。17．已知等差数列{an}中，a2=8，前10项和S10=185．x25314()fx12345（1）求通项an；（2）若从数列{an}中依次取第2项、第4项、第8项…第2n项……按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn．考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能力．17.【解】（1）设{an}公差为d，有185291010811dada解得a1=5，d=3∴an=a1+（n－1）d=3n+2（2）∵bn=an2=3×2n+2∴Tn=b1+b2+…+bn=（3×21+2）+（3×22+2）+…+（3×2n+2）=3（21+22+…+2n）+2n=6×2n+2n－6．18．数列{an}中，a1＝8，a4＝2且满足an＋2＝2an＋1－ann∈N（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求sn;（3）设bn＝1n(12－an)(n∈N)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N，均有Tn＞m32成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。18.解：（1）由an＋2＝2an＋1－anan＋2－an＋1＝an＋1－an，可知{an}成等差数列，d＝a4－a14－1＝－2－∴an＝10－2n（2）由an＝10－2n≥0得n≤5∴当n≤5时，Sn＝－n2＋9n当n5时，Sn＝n2－9n＋40故Sn＝－n2＋9n1≤n≤5n2－9n＋40n＞5（n∈N）（3）bn＝1n(12－an)＝1n(2n＋2)＝12(1n－1n＋1)∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋……＋(1n－1－1n)]＝12(1－1n＋1)＝n2(n＋1)＞n－12n＞Tn－1＞Tn－2＞……＞T1.∴要使Tnm32总成立，需m32T1＝14恒成立，即m8，（m∈Z）。故适合条件的m的最大值为7．19．商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷建行偿贷款形式（年利率5％，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：lg1.7343＝0.2391，lgl.05＝0.0212，81.05＝1.4774）19.（1）设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×80（元）＝800000（元）＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．依题意有2%)51(%)51(1[62…11%)51(500]%)51(nn．化简得105.125)105.1(62nn．∴7343.105.1n．两边取对数整理得28.110212.02391.005.1lg7343.1lgn．∴取n＝12（年）．∴到2014年底可全部还清贷款．（2）设每生和每年的最低收费标准为x元，因到2010年底公寓共使用了8年，依题意有2%)51(%)51(1)[18100001000(x…97%)51(500]%)51(．化简得9805.1500105.115.10)181.0(x．∴992)2.8118(10)14774.14774.105.12518(10)105.105.12518(1089x（元）故每生每年的最低收费标准为992元．20.已知数列{}na中，15a，1221nnnaa（nN且2n）．（Ⅰ）若数列2nna为等差数列，求实数的值；（Ⅱ）求数列{}na的前n项和nS．20.解：（Ⅰ）因为1221nnnaa（nN且2n），所以111221112222nnnnnnnnaaa．显然，当且仅当102n，即1时，数列2nna为等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：数列12nna是首项为1122a，公差为1的等差数列，故有12(1)112nnann，即(1)21nnan（nN）．因此，有23223242(1)2nnSnn，23412223242(1)22nnSnn，两式相减，得2314(222)(1)2nnnSnn，整理，得1(21)nnSn（nN）．备选题：1.一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比q为_______________。1.512。提示：设221215,10,0,2nnnnnaaaqaqaqqqq。2.甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．甲、乙开始运动后，相遇的时间为．2.7分钟。提示：设n分钟后第1次相遇，依题意得2n+2)1(nn+5n=70整理得：n2+13n－140=0，解得：n=7，n=－20（舍去）。3.若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，则它们相同的项的项数是。3.25.提示：设这两个数列分别为{an}、{bn}，则an=3n+2，bn=4n－1，令ak=bm，