高考试题——数学理(辽宁卷)解析版

2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，（1）已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},uðB∩A={9},则A=（A）{1,3}(B){3,7,9}(C){3,5,9}(D){3,9}【答案】D【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力。【解析】因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为uðB∩A={9}，所以9∈A，所以选D。本题也可以用Venn图的方法帮助理解。(2)设a,b为实数，若复数11+2iiabi，则（A）31,22ab(B)3,1ab(C)13,22ab(D)1,3ab【答案】A【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。【解析】由121iiabi可得12()()iababi，所以12abab，解得32a，12b，故选A。（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（A）12(B)512(C)14(D)16【答案】B【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则P(A)=P(A1)+P(A2)=211335+=43412(4)如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的P等于（A）1mnC(B)1mnA(C)mnC(D)mnA【答案】D【命题立意】本题考查了循环结构的程序框图、排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力【解析】第一次循环：k=1,p=1,p=n-m+1;第二次循环：k=2,p=(n-m+1)(n-m+2)；第三次循环：k=3，p=(n-m+1)(n-m+2)(n-m+3)……第m次循环：k=3，p=(n-m+1)(n-m+2)(n-m+3)…(n-1)n此时结束循环，输出p=(n-m+1)(n-m+2)(n-m+3)…(n-1)n=mnA（5）设0,函数y=sin(x+3)+2的图像向右平移34个单位后与原图像重合，则的最小值是（A）23(B)43(C)32(D)3【答案】C【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。【解析】将y=sin(x+3)+2的图像向右平移34个单位后为4sin[()]233yx4sin()233x，所以有43=2k,即32k，又因为0，所以k≥1,故32k≥32，所以选C（6）设{an}是有正数组成的等比数列，nS为其前n项和。已知a2a4=1,37S,则5S（A）152(B)314(C)334(D)172【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由a2a4=1可得2411aq，因此121aq，又因为231(1)7Saqq，联力两式有11(3)(2)0qq，所以q=12,所以5514(1)3121412S，故选B。(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=(A)43(B)8(C)83(D)16【答案】B【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为3(2)yx，所以点(2,43)A、(6,43)P，从而|PF|=6+2=8(8)平面上O,A,B三点不共线，设,OA=aOBb，则△OAB的面积等于(A)222|||()|abab(B)222|||()|abab(C)2221|||()2|abab(D)2221|||()2|abab【答案】C【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。【解析】三角形的面积S=12|a||b|sina,b，而222222211||||()||||()cos,22ababababab211||||1cos,||||sin,22abababab(9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)2(B)3(C)312(D)512【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。【解析】设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，则F（c,0）,B(0,b)直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=bxa垂直，所以1bbca，即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以152e或152e（舍去）(1O)已知点P在曲线y=41xe上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是(A)[0,4)(B)[,)423(,]24(D)3[,)4【答案】D【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。【解析】因为'2441(1)2xxxxeyeee，即tana≥-1,所以34。(11)已知a0，则x0满足关于x的方程ax=6的充要条件是(A)220011,22xRaxbxaxbx(B)220011,22xRaxbxaxbx(C)220011,22xRaxbxaxbx(D)220011,22xRaxbxaxbx【答案】C【命题立意】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力。【解析】由于a0,令函数22211()222bbyaxbxaxaa，此时函数对应的开口向上，当x=ba时，取得最小值22ba，而x0满足关于x的方程ax=b,那么x0==ba,ymin=2200122baxbxa，那么对于任意的x∈R,都有212yaxbx≥22ba=20012axbx(12)(12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是(A)（0,62）(B)（1,22）(C)(62,62）(D)（0,22）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=3，SD=21a，则有21a2+3，即22843(62)a，即有a62(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a0;综上分析可知a∈（0,62）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）261(1)()xxxx的展开式中的常数项为_________.【答案】-5【命题立意】本题考查了二项展开式的通项，考查了二项式常数项的求解方法【解析】21()xx的展开式的通项为6216(1)rrrrTCx，当r=3时，34620TC，当r=4时，45615TC，因此常数项为-20+15=-5（14）已知14xy且23xy，则23zxy的取值范围是_______（答案用区间表示）【答案】（3，8）【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题，考查了同学们数形结合解决问题的能力。【解析】画出不等式组1423xyxy表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8.（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.【答案】23【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为22222223（16）已知数列na满足1133,2,nnaaan则nan的最小值为__________.【答案】212【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n所以331nannn设()fn331nn，令()fn23310n，则()fn在(33,)上是单调递增，在(0,33)上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时()fn有最小值。又因为55355a，66321662a，所以，nan的最小值为62162a三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinsinBC的最大值.（17）解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)abcbcbc即222abcbc由余弦定理得2222cosabcbcA故1cos2A，A=120°……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinsinsinsin(60)BCBB31cossin22sin(60)BBB故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。……12分（18）（本小题满分12分）为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.表3：（18）解：（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为991981002002100199CPC……4分（Ⅱ）（i）图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。……8分（ii）表3：22200(70653530)24.5610010010595K由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异”。……12分（19）（本小题满分12分）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.（19）证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向