北京市西城区高三抽样测试数学试题(文科)

北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题（文科）2010．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{2,3,4}A，{2,4,6}B，若xA且xB，则x等于A．2B．3C．4D．62.已知命题:,cos1pxxR，则A．:,cos1pxxRB．:,cos1pxxRC．:,cos1pxxRD．:,cos1pxxR3.设变量,xy满足约束条件3,1,xyxy则目标函数2zyx的最小值为()A．1B．2C．3D．44.“ln1x”是“1x”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.如图，三棱柱111ABCABC的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A．3B．23C．22D．46.在数列{}na中，11a，1nnaan，2n．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是A．8iB．9iC．10iD．11i7.等差数列{}na的前n项和为nS，若70a，80a，则下列结论正确的是A．78SSB．1516SSC．130SD．150S结束开始输出s0,0,0ias否是（1）ssa1iiaai正（主）视图ABCA1B1C11128.给出函数()fx的一条性质：“存在常数M，使得()fxMx对于定义域中的一切实数x均成立.”则下列函数中具有这条性质的函数是A．1yxB．2yxC．1yxD．sinyxx二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i是虚数单位，i2i_____.10.函数sincosyxx的最小正周期是_________，最大值是________.11.在抛物线22ypx上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则p________.12.圆心在x轴上，且与直线yx切于(1,1)点的圆的方程为________.13.设,,abc为单位向量，,ab的夹角为60，则acbc的最大值为________.14.我们可以利用数列{}na的递推公式2,,nnnnaan为奇数时，为偶数时（n*N）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.则2425aa_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，3cos4A，2CA.（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若24ac，求,ac的值.16.（本小题满分13分）在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中，（Ⅰ）求成绩在区间[80,90)内的学生人数；（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率.17.（本小题满分13分）如图，已知四棱柱1111ABCDABCD的底面是菱形，侧棱1BB底面ABCD，E是侧棱1CC的中点.（Ⅰ）求证：AC平面11BDDB；（Ⅱ）求证：//AC平面1BDE.50706080100400分数频率/组距0.0150.0050.0450.02090ABDA1B1C1D1EC18.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为63，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线:2lykx与椭圆C交与,AB两点，点(0,1)P，且PAPB，求直线l的方程.19.（本小题满分14分）设函数2()fxxa.（Ⅰ）求函数()()gxxfx在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）当0a时，记曲线()yfx在点11(,())Pxfx（1xa）处的切线为l，l与x轴交于点2(,0)Ax，求证：12xxa.20.（本小题满分14分）如果由数列{}na生成的数列{}nb满足对任意的n*N均有1nnbb，其中1nnnbaa，则称数列{}na为“Z数列”.（Ⅰ）在数列{}na中，已知2nan，试判断数列{}na是否为“Z数列”；（Ⅱ）若数列{}na是“Z数列”，10a，nbn，求na；（Ⅲ）若数列{}na是“Z数列”，设,,stm*N，且st，求证：tmsmtsaaaa.北京市西城区2010年抽样测试参考答案高三数学试卷（文科）2010.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案BCDABCCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.12i5510.2，211.212.22(2)2xy13.314.28,640注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15、解：（Ⅰ）因为3cos4A，所以2coscos22cos1CAA…………………3分2312()148.…………………5分（Ⅱ）在ABC中，因为3cos4A，所以7sin4A，…………………7分因为1cos8C，所以2137sin1()88C，…………………9分根据正弦定理sinsinacAC，…………………10分所以23ac，又24ac，所以4,6ac.…………………12分16、解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)的频率为1(0.00520.0150.0200.045)100.1，…………………3分所以，40名学生中成绩在区间[80,90)的学生人数为400.14（人）.…………………5分（Ⅱ）设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间[90,100]内”，由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这四个人分别为,,,abcd，成绩在区间[90,100]内的学生有2人，…………………7分记这两个人分别为,ef，则选取学生的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),abacadaeafbcbdbebf(,),(,),(,)cdcecf，(,),(,),(,)dedfef基本事件数为15，…………………9分事件“至少一人成绩在区间[90,100]之间”的可能结果为：(,),(,),(,),(,),aeafbebf(,),(,),(,),(,),(,)cecfdedfef，基本事件数为9，…………………11分所以93()155PA.…………………13分17、证明：（Ⅰ）因为ABCD是菱形，所以ACBD，因为1BB底面ABCD，所以1BBAC，…………3分所以AC平面11BDDB.…………5分（Ⅱ）设AC,BD交于点O，取1BD的中点F，连接,OFEF，则1//OFBB，且112OFBB，又E是侧棱1CC的中点，112ECCC，11//BBCC，11BBCC，所以1//OFCC，且112OFCC,…………………7分所以四边形OCEF为平行四边形，//OCEF，…………………9分又AC平面1BDE，EF平面1BDE，………………11分所以//AC平面1BDE.………………13分18、解：（Ⅰ）由已知26a，63ca，…………………3分解得3a，6c，所以2223bac，…………………4分所以椭圆C的方程为22193xy.…………………5分（Ⅱ）由221,932xyykx得，22(13)1230kxkx，直线与椭圆有两个不同的交点，所以2214412(13)0kk，ABDA1B1C1D1ECOF解得219k.…………………7分设11(,)Axy，22(,)Bxy，则1221213kxxk，122313xxk，…………………8分计算121222124()441313kyykxxkkk，所以，,AB中点坐标为2262(,)1313kEkk，…………………10分因为PAPB，所以PEAB，1PEABkk，所以2221131613kkkk，…………………12分解得1k，…………………13分经检验，符合题意，所以直线l的方程为20xy或20xy.…………………14分19、（Ⅰ）解：3()gxxax，2()3gxxa，…………………2分当0a时，()gx为R上的增函数，所以()gx在区间[0,1]上的最小值为(0)0g；…………………4分当0a时，()gx的变化情况如下表：x(,)3a(,)33aa(,)3a()gx所以，函数()gx在(,)3a，(,)3a上单调递增，在(,)33aa上单调递减.…………………6分当13a，即03a时，()gx在区间[0,1]上的最小值为2()339aaga；……………7分当13a，即3a时，()gx在区间[0,1]上的最小值为(1)1ga.……8分综上，当0a时，()gx在区间[0,1]上的最小值为(0)0g；当03a时，()gx的最小值为239aa；当3a时，()gx的最小值为1a.（Ⅱ）证明：曲线()yfx在点11(,())Pxfx（1xa）处的切线方程为2111()2()yxaxxx，令0y，得21212xaxx，…………………10分所以212112axxxx，因为1xa，所以21102axx，21xx.………11分因为1xa，所以1122xax，所以211211222xaxaxaxx，…………………13分所以12xxa.…………………14分20、解：（Ⅰ）因为2nan，所以221(1)21nnnbaannn，n*N，…………………2分所以12(1)1212nnbbnn，所以1nnbb，数列{}na是“Z数列”.…………………4分（Ⅱ）因为nbn，所以2111aab，3222aab，…，11(1)nnnaabn，所以1(1)12(1)2nnnaan（2n），…………………6分所以(1)2nnna（2n），又10a，所以(1)2nnna（n*N）.…………………8分（Ⅲ）因为111()()smssmsmsssmsaaaaaabb，111()()tmttmtmtttmtaaaaaabb，………………10分又,,stm*N，且st，所以siti，sitibb，n*N，所以1122,,,smtmsmtmstbbbbbb，…………………12分所以tmtsmsaaaa，即tmsmtsaaaa.…………………14分