2017年高考数学考前回扣教材1 集合与常用逻辑用语

考前回扣回扣1集合与常用逻辑用语1.集合(1)集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.(2)子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.(3)数轴和Venn图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘记集合本身和空集这两种特殊情况.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.2.四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假.3.含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题p∨q：若p、q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真.(2)命题p∧q：若p、q中至少有一个为假，则命题为假命题，p、q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真.(3)命题綈p与命题p真假相反.4.全称命题、特称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0).(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x).5.充分条件和必要条件(1)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(2)若p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；(3)若p⇔q，则称p是q的充要条件；(4)若p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件.1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lgx}——函数的定义域；{y|y＝lgx}——函数的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函数图象上的点集.2.易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}.3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.4.空集是任何集合的子集.由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况.5.区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”.6.在对全称命题和特称命题进行否定时，不要忽视对量词的改变.7.对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.1.已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A.0或3B.0或3C.1或3D.1或3答案B解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1，3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2.设集合A＝{x|1x2}，B＝{x|xa}，若A⊆B，则a的取值范围是()A.{a|a≥2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≤2}答案A解析若A⊆B，则a≥2，故选A.3.已知集合M＝{x|－3x≤5}，N＝{x|x－5或x5}，则M∪N等于()A.{x|－3x5}B.{x|－5x5}C.{x|x－5或x－3}D.{x|x－3或x5}答案C解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x－5或x－3}，故选C.4.满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合A的个数是()A.1B.2C.3D.4答案D解析满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个.5.已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x0}，则A∪(∁UB)等于()A.[－1，0]B.[1，2]C.[0，1]D.(－∞，1]∪[2，＋∞)答案D解析B＝{x|x2－2x0}＝(0，2)，A∪(∁UB)＝[－1，1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.6.下列命题正确的是()(1)命题“∀x∈R，2x0”的否定是“∃x0∈R，20x≤0”；(2)l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；(3)给定命题p，q，若“p∧q为真命题”，则綈p是假命题；(4)“sinα＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件.A.(1)(4)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(3)(4)答案C解析命题“∀x∈R，2x0”的否定是“∃x0∈R，20x≤0”；l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α；给定命题p，q，若“p∧q为真命题”；则p且q是真命题，綈p且綈q是假命题；“sinα＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件，因此(1)(3)为真，选C.7.设命题p：∃x0∈R，使x20＋2x0＋a＝0(a∈R)，则使得p为真命题的一个充分不必要条件是()A.a－2B.a2C.a≤1D.a0答案D解析设f(x)＝x2＋2x＋a，则p为真命题⇔f(x)在R内有零点⇔Δ≥0⇔a≤1.8.已知命题p：在△ABC中，若ABBC，则sinCsinA；命题q：已知a∈R，则“a1”是“1a1”的必要不充分条件.在命题p∧q，p∨q，(綈p)∨q，(綈p)∧q中，真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案A解析由题意得，在△ABC中，若ABBC，即ca，由正弦定理可得sinCsinA，所以p真，又已知a∈R，则“a1”是“1a1”的充分不必要条件，所以q假，只有p∨q为真命题，故选A.9.已知命题p：∀m∈[0，1]，x＋1x≥2m，则綈p为()A.∀m∈[0，1]，x＋1x2mB.∃m0∈[0，1]，x＋1x≥20mC.∃m0∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，x＋1x≥20mD.∃m0∈[0，1]，x＋1x20m答案D解析根据全称命题与特称命题的关系，可知命题p：∀m∈[0，1]，x＋1x≥2m，则綈p为“∃m0∈[0，1]，x＋1x20m”，故选D.10.下列结论正确的是________.(1)f(x)＝ax－1＋2(a0，且a≠1)的图象经过定点(1，3)；(2)已知x＝log23，4y＝83，则x＋2y的值为3；(3)若f(x)＝x3＋ax－6，且f(－2)＝6，则f(2)＝18；(4)f(x)＝x(11－2x－12)为偶函数；(5)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|mx＝1}，且B⊆A，则m的值为1或－1.答案(1)(2)(4)解析(1)当x＝1时，f(1)＝a0＋2＝1＋2＝3，则函数的图象经过定点(1，3)，故(1)正确；(2)已知x＝log23，4y＝83，则22y＝83，2y＝log283，则x＋2y＝log23＋log283＝log2(83×3)＝log28＝3，故(2)正确；(3)若f(x)＝x3＋ax－6，且f(－2)＝6，则(－2)3－2a－6＝6，即a＝－10，则f(2)＝23－2×10－6＝－18，故(3)错误；(4)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(x)＝x(11－2x－12)＝x·1＋2x21－2x，则f(－x)＝－x·1＋2－x21－2－x＝－x·2x＋122x－1＝x·1＋2x21－2x＝f(x)，即有f(x)为偶函数，则f(x)＝x(11－2x－12)为偶函数，故(4)正确；(5)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|mx＝1}，且B⊆A，当m＝0时，B＝∅，也满足条件，故(5)错误，故正确的是(1)(2)(4).11.已知M是不等式ax＋10ax－25≤0的解集且5∉M，则a的取值范围是________________.答案(－∞，－2)∪[5，＋∞)解析若5∈M，则5a＋105a－25≤0，∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a＜5，∴5∉M时，a－2或a≥5.12.若三个非零且互不相等的实数a，b，c满足1a＋1b＝2c，则称a，b，c是调和的；若满足a＋c＝2b，则称a，b，c是等差的.若集合P中元素a，b，c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”，若集合M＝{x||x|≤2014，x∈Z}，集合P＝{a，b，c}⊆M，则(1)“好集”P中的元素最大值为________；(2)“好集”P的个数为________.答案20121006解析因为a＝－2b，c＝4b，若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则1a＋1b＝2c且a＋c＝2b，故满足条件的“好集”为形如{－2b，b，4b}(b≠0)的形式，则－2014≤4b≤2014，解得－503≤b≤503，且b≠0，P中元素的最大值为4b＝4×503＝2012.符合条件的b值可取1006个，故“好集”P的个数为1006.13.设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a20，其中a0；命题q：实数x满足x2＋2x－80，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，－4]解析由命题q：实数x满足x2＋2x－80，得x－4或x2，由命题p：实数x满足x2－4ax＋3a20，其中a0，得(x－3a)(x－a)0，∵a0，∴3axa，∵q是p的必要不充分条件，∴a≤－4，∴a∈(－∞，－4].14.已知命题p：1－x＋12≤1，命题q：x2－2x＋1－m20(m0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________.答案(2，＋∞)解析∵1－x＋12≤1⇔－1≤x＋12－1≤1⇔0≤x＋12≤2⇔－1≤x≤3，∴p：－1≤x≤3；∵x2－2x＋1－m20(m0)⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]0⇔1－mx1＋m，∴q：1－mx1＋m.∵p是q的充分不必要条件，∴[－1，3]是(1－m，1＋m)的真子集，则1－m－1，1＋m3，解得m2.