2016年高考理科数学全国Ⅱ卷试题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)izmm在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（A）(31)，（B）(13)，（C）(1,)+（D）(3)-，（2）已知集合{1,}A2,3，{|(1)(2)0,}BxxxxZ，则AB（A）{1}（B）{12}，（C）{0123}，，，（D）{10123}，，，，（3）已知向量(1,)(3,2)m，=ab，且()a+bb，则m=（A）－8（B）－6（C）6（D）8（4）圆2228130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则a=（A）43（B）34（C）3（D）2（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A）24（B）18（C）12（D）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π（7）若将函数y=2sin2x的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A）x=kπ2–π6(k∈Z)（B）x=kπ2+π6(k∈Z)（C）x=kπ2–π12(k∈Z)（D）x=kπ2+π12(k∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（A）7（B）12（C）17（D）34（9）若cos(π4–α)=35，则sin2α=（A）725（B）15（C）–15（D）–725（10）从区间0,1随机抽取2n个数1x,2x，…，nx，学科&网1y，2y，…，ny，构成n个数对11,xy，22,xy，…，,nnxy，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A）4nm（B）2nm（C）4mn（D）2mn（11）已知F1，F2是双曲线E22221xyab的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin2113MFF,则E的离心率为（A）2（B）32（C）3（D）2（12）已知函数学.科网()()fxxR满足()2()fxfx，若函数1xyx与()yfx图像的交点为1122(,),(,),,(,),mmxyxyxy则1()miiixy（A）0（B）m（C）2m（D）4m第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b=.(14)α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.学科.网（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，学.科网乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。（16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）nS为等差数列na的前n项和，且7=128.naS，记=lgnnba，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0lg99=1，.（I）求111101bbb，，；（II）求数列nb的前1000项和.18.（本题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=54，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△DEF的位置，10OD.学.科.网（I）证明：DH平面ABCD；（II）求二面角BDAC的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆E:2213xyt的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.（I）当t=4，AMAN时，求△AMN的面积；（II）当2AMAN时，求k的取值范围.（21）（本小题满分12分）(I)讨论函数xx2f(x)x2e的单调性，并证明当x0时，(2)20;xxex(II)证明：当[0,1)a时，函数2x=(0)xeaxagxx（）有最小值.设g（x）的最小值为()ha，求函数()ha的值域.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.(I)证明：B,C,E,F四点共圆；(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.学科&网（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=，求l的斜率。（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=∣x-∣+∣x+∣，M为不等式f(x)＜2的解集.（I）求M；（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案第Ⅰ卷一.选择题：（1）【答案】A（2）【答案】C（3）【答案】D（4）【答案】A（5）【答案】B（6）【答案】C（7）【答案】B（8）【答案】C（9）【答案】D（10）【答案】C（11）【答案】A（12）【答案】C第Ⅱ卷二、填空题(13)【答案】2113(14)【答案】②③④（15）【答案】1和3（16）【答案】1ln2三.解答题17.（本题满分12分）【答案】（Ⅰ）10b，111b，1012b；（Ⅱ）1893.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项na，再根据已知条件求111101bbb，，；（Ⅱ）用分段函数表示nb，学.科.网再由等差数列的前n项和公式求数列nb的前1000项和．试题解析：（Ⅰ）设{}na的公差为d，据已知有72128d，学.科.网解得1.d所以{}na的通项公式为.nan111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101]2.bbb（Ⅱ）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000.nnnbnn所以数列{}nb的前1000项和为1902900311893.考点：等差数列的的性质，前n项和公式，学.科网对数的运算.【结束】18.（本题满分12分）【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X，学.科网求X的分布列为，在根据期望公式求解..【解析】试题分析：试题解析：（Ⅰ）设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.PA（Ⅱ）设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.PB又()()PABPB，故()()0.153(|).()()0.5511PABPBPBAPAPA因此所求概率为3.11（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.050.850.300.151.250.201.50.201.750.1020.051.23EXaaaaaaa因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23考点：条件概率，随机变量的分布列、期望.【结束】19.（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）29525.【解析】试题分析：（Ⅰ）证//ACEF，再证'DHOH，最后证'DHABCD平面；（Ⅱ）用向量法求解.试题解析：（I）由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得AECFADCD，故//ACEF.因此EFHD，从而'EFDH.由5AB,6AC得2204DOBABAO.由//EFAC得14OHAEDOAD.学.科网所以1OH，'3DHDH.于是1OH，'222'23110DHOHDO，故'DHOH.又'DHEF，而OHEFH，所以'DHABCD平面.ABCDD'EHOzxyF（II）如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴的正方向，学.科网建立空间直角坐标系Hxyz，则0,0,0H，3,2,0A，0,5,0B，3,1,0C，'0,0,3D，(3,4,0)AB，6,0,0AC，'3,1,3AD.设111,,mxyz是平面'ABD的法向量，则'00mABmAD，即11111340330xyxyz，所以可以取4,3,5m.设222,,nxyz是平面'ACD的法向量，则'00nACnAD，即222260330xxyz，所以可以取0,3,1n.于是1475cos,255010mnmnmn，295sin,25mn.因此二面角'BDAC的正弦值是29525.考点：线面垂直的判定、二面角.【结束】20.（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）32,2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求AMN的面积；（Ⅱ）设11,Mxy，，将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示1x，从而表示||AM，同理用k表示||AN，再由2AMAN求k.试题解析：（I）设11,Mxy，则由题意知10y，当4t时，E的方程为22143xy，2,0A.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4.因此直线AM的方程为2yx.将2xy代入22143xy得27120yy.解得0y或127y，学.科网所以1127y.因此AMN的面积11212144227749