2016年山东省高考文科数学试题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}UAB，则()UABð=（A）{2,6}（B）{3,6}（C）{1,3,4,5}（D）{1,2,4,6}（2）若复数21iz，其中i为虚数单位，则z=（A）1+i（B）1−i（C）−1+i（D）−1−i（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A）56（B）60（C）120（D）140（4）若变量x，y满足2,239,0,xyxyx则x2+y2的最大值是（A）4（B）9（C）10（D）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A）12+π33（B）12+π33（C）12+π36（D）21+π6（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，b内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面b相交”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知圆M：2220(0)xyaya+-=截直线0xy+=所得线段的长度是22，则圆M与圆N：22(1)1xy+-=（-1）的位置关系是（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离（8）ABC△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知22,2(1sin)bcabA==-,则A=（A）3π4（B）π3（C）π4（D）π6(9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)=—f(x)；当x＞12时，f(x+12)=f(x—12).则f(6)=（A）-2（B）-1（C）0（D）2（10）若函数()yfx的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()yfx具有T性质.下列函数中具有T性质的是学科&网（A）sinyx（B）lnyx（C）exy（D）3yx第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。（11）执行右边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为_______．（12）观察下列等式：22π2π4(sin)(sin)12333；2222π2π3π4π4(sin)(sin)(sin)(sin)2355553；2222π2π3π6π4(sin)(sin)(sin)(sin)3477773；2222π2π3π8π4(sin)(sin)(sin)(sin)4599993；……照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin)(sin)(sin)21212121nnnnn_________．（13）已知向量a=(1,–1)，b=(6,–4)．若a⊥(ta+b)，则实数t的值为________．（14）已知双曲线E：22xa–22yb=1（a0，b0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．（15）已知函数f(x)=2,,24,,xxmxmxmxm其中m0．若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分（16）（本小题满分12分）某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若3xy，则奖励玩具一个；学科&网②若8xy，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（I）求小亮获得玩具的概率；（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.（17）（本小题满分12分）设2()23sin(π)sin(sincos)fxxxxx.（I）求()fx得单调递增区间；（II）把()yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()ygx的图象，求π()6g的值.（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.（19）（本小题满分12分）已知数列na的前n项和238nSnn，nb是等差数列，且1nnnabb.（I）求数列nb的通项公式；学科&网（II）令1(1)(2)nnnnnacb.求数列nc的前n项和nT.(20)(本小题满分13分)设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R.(Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.(21)(本小题满分14分)已知椭圆C:（ab0）的长轴长为4，焦距为2.（I）求椭圆C的方程；(Ⅱ)过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）第I卷（共50分）一、选择题（1）【答案】A（2）【答案】B（3）【答案】D（4）【答案】C（5）【答案】C（6）【答案】A（7）【答案】B（8）【答案】C(9)【答案】D（10）【答案】A第II卷（共100分）二、填空题（11）【答案】1（12）【答案】413nn（13）【答案】5（14）【答案】2（15）【答案】3,三、解答题：本大题共6小题，共75分（16）【答案】（）516.（）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】试题分析：用数对,xy表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间与点集,|,,14,14SxyxNyNxy一一对应.得到基本事件总数为16.n（）事件A包含的基本事件共有5个，即1,1,1,2,1,3,2,1,3,1,计算即得.（）记“8xy”为事件B，“38xy”为事件C.知事件B包含的基本事件共有6个，得到63.168PB事件C包含的基本事件共有5个，得到5.16PC比较即知.试题解析：用数对,xy表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集,|,,14,14SxyxNyNxy一一对应.因为S中元素个数是4416,所以基本事件总数为16.n（）记“3xy”为事件A.则事件A包含的基本事件共有5个，即1,1,1,2,1,3,2,1,3,1,所以，5,16PA即小亮获得玩具的概率为516.（）记“8xy”为事件B，“38xy”为事件C.则事件B包含的基本事件共有6个，即2,4,3,3,3,44,2,4,3,4,4,所以，63.168PB则事件C包含的基本事件共有5个，即1,4,2,2,2,3,3,2,4,1,所以，5.16PC因为35,816所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.考点：古典概型（17）【答案】（）fx的单调递增区间是5,,1212kkkZ（或5(,)1212kkkZ）（）3.【解析】试题分析：（）化简223sinsinsincosfxxxxx得()2sin231,3fxx由222,232kxkkZ即得5,1212kxkkZ写出fx的单调递增区间（）由fx2sin231,3x平移后得2sin31.gxx进一步可得.6g试题解析：（）由223sinsinsincosfxxxxx223sin12sincosxxx31cos2sin21xxsin23cos231xx2sin231,3x由222,232kxkkZ得5,1212kxkkZ所以，fx的单调递增区间是5,,1212kkkZ（或5(,)1212kkkZ）（）由（）知fx2sin231,3x把yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y2sin313x的图象，再把得到的图象向左平移3个单位，得到y2sin31x的图象，即2sin31.gxx所以2sin313.66g考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数的图象和性质.（18）【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ））根据BDEF//，知EF与BD确定一个平面，连接DE，得到ACDE，ACBD，从而AC平面BDEF，证得FBAC.（Ⅱ）设FC的中点为I，连HIGI,，在CEF，CFB中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面//GHI平面ABC，进一步得到//GH平面ABC.试题解析：（Ⅰ））证明：因BDEF//，所以EF与BD确定一个平面，连接DE，因为EECAE,为AC的中点，所以ACDE；同理可得ACBD，又因为DDEBD，所以AC平面BDEF，因为FB平面BDEF，FBAC。（Ⅱ）设FC的中点为I，连HIGI,，在CEF中，G是CE的中点，所以EFGI//，又DBEF//，所以DBGI//；在CFB中，H是FB的中点，所以BCHI//，又IHIGI，所以平面//GHI平面ABC，因为GH平面GHI，所以//GH平面ABC。IFEHGBDCA考点：1.平行关系；2.垂直关系.（19）【答案】（Ⅰ）13nbn;（Ⅱ）223nnnT【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得322211bbabba，解得3,41db，得到13nbn。（Ⅱ）由（Ⅰ）知112)1(3)33()66(nnnnnnnc，从而]2)1(2