2016年天津市高考理科数学试题及答案

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：•如果事件A，B互斥，那么•如果事件A，B相互独立，那么()()()PABPAPB.()()()PABPAPB.•圆柱的体积公式VSh.•圆锥的体积公式13VSh.其中S表示圆柱的底面面积，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆柱的高.h表示圆锥的高.一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.学科.网（1）已知集合4,3,2,1A，AxxyyB,23，则BA（A）1（B）4（C）3,1（D）4,1（2）设变量x，y满足约束条件.0923,0632,02yxyxyx则目标函数yxz52的最小值为（A）4（B）6（C）10（D）17≥≥≤（3）在ABC中，若13AB，3BC，120C，则AC（A）1（B）2（C）3（D）4（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（A）2（B）4（C）6（D）8（5）设na是首项为正数的等比数列，学科&网公比为q，则“0＜q”是“对任意的正整数n，0212＜nnaa”的（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线14222byx）＞（0b，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，学科&网四边形ABCD的面积为b2，则双曲线的方程为（A）143422yx（B）134422yx（C）144222yx（D）112422yx（7）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得EFDE2，则BCAF的值为（A）85（B）81（C）41（D）811（8）已知函数0,1)1(log0,3)34()(2xxxaxaxxfa＜（0＞a，学.科网且1a）在R上单调递减，且关于x的方程xxf2)(恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（A）]32,0(（B）]43,32[（C）]32,31[{43}（D）)32,31[{43}≥（第4题图）否开始4S1nSS26SS是1nn否S输出结束?3＞n?6S是绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二．填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.（9）已知a，bR，i是虚数单位，若ab)i1)(i1(，则ba的值为_____________.（10）82)1(xx的展开式中7x的系数为_____________.（用数字作答）（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），学科.网则该四棱锥的体积为_____________3m.（12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，22AEBE，EDBD，则线段CE的长为_____________.（13）已知)(xf是定义在R上的偶函数，且在区间)0,(上单调递增.若实数a满足)2()2(1ffa＞，则a的取值范围是_____________.（14）设抛物线ptyptx2,22（t为参数，0＞p）的焦点F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设)0,27(pC，AF与BC相交于点E.若AFCF2，且ACE的面积为23，则p的值为_____________.ABCDE11113三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知函数3)3cos()2sin(tan4)(xxxxf.（Ⅰ）求)(xf的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论)(xf在区间]4,4[上的单调性.（16）（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，2BEAB.（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；（Ⅱ）求二面角CEFO的正弦值；（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且HFAH32，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.ABCDEFHGO（18）（本小题满分13分）已知na是各项均为正数的等差数列，学.科.网公差为d.对任意的Nn，nb是na和1na的等比中项.（Ⅰ）设221nnnbbc，Nn，求证：数列nc是等差数列；（Ⅱ）设da1，nkkknbT212)1(，Nn，求证21211dTnkk＜.（19）（本小题满分14分）设椭圆13222yax)3(＞a的右焦点为F，右顶点为A.已知FAeOAOF311，其中O为原点，e为椭圆的离心率.学.科.网（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若HFBF，且MOA≤MAO，求直线l的斜率的取值范围.（20）（本小题满分14分）设函数baxxxf3)1()(，xR，其中a，bR.（Ⅰ）求)(xf的单调区间；（Ⅱ）若)(xf存在极值点0x，且)()(01xfxf，其中01xx，求证：3201xx；（Ⅲ）设0＞a，函数)()(xfxg，求证：)(xg在区间]2,0[上的最大值不小于．．．412016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）一、选择题：（1）【答案】D（2）【答案】B（3）【答案】A（4）【答案】B（5）【答案】C（6）【答案】D（7）【答案】B（8）【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：（9）【答案】2（10）【答案】56（11）【答案】2（12）【答案】233（13）【答案】13(,)22(14)【答案】6三、解答题（15）【答案】（Ⅰ）,2xxkkZ，.（Ⅱ）在区间,124上单调递增,学科&网在区间412，上单调递减.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()=2sin23fxx，再根据正弦函数性质求定义域、学科&网周期根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,44]上单调性试题解析：解：fx的定义域为,2xxkkZ.4tancoscos34sincos333fxxxxxx213=4sincossin32sincos23sin322xxxxxx=sin231-cos23sin23cos2=2sin23xxxxx.所以,fx的最小正周期2.2T解：令2,3zx函数2sinyz的单调递增区间是2,2,.22kkkZ由222232kxk,得5,.1212kxkkZ设5,,,441212ABxkxkkZ，易知,124AB.所以,当,44x学.科网时,fx在区间,124上单调递增,在区间412，上单调递减.考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式【结束】(16)【答案】（Ⅰ）13（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：210C，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：112344CCC，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为0,1,2.学.科网再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望试题解析：解：()由已知，有1123442101,3CCCPAC所以，事件A发生的概率为13.()随机变量X的所有可能取值为0,1,2.2223342100CCCPXC415，111133342107115CCCCPXC，11342104215CCPXC.所以，随机变量X学.科网分布列为X012P415715415随机变量X的数学期望4740121151515EX.考点：概率，概率分布与数学期望【结束】(17)【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）33（Ⅲ）721【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析：依题意，OFABCD平面，如图，以O为点，分别以,,ADBAOF的方向为x轴，y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O，1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)ABCDEFG，.（I）证明：依题意，(2,0,0),1,1,2ADAF.设1,,nxyz为平面ADF的法向量，则1100nADnAF，即2020xxyz.不妨设1z，可得10,2,1n，又0,1,2EG，可得10EGn，又因为直线EGADF平面，所以//EGADF平面.（II）解：易证，1,1,0OA为平面OEF的一个法向量.依题意，1,1,0,1,1,2EFCF.设2,,nxyz为平面CEF的法向量，则2200nEFnCF，即020xyxyz.不妨设1x，可得21,1,1n.因此有2226cos,3OAnOAnOAn，于是23sin,3OAn，所以，二面角OEFC的正弦值为33.（III）解：由23AHHF，学.科网得25AHAF.因为1,1,2AF，所以2224,,5555AHAF，进而有334,,555H，从而284,,555BH，因此2227cos,21BHnBHnBHn.所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为721.考点：利用空间向量解决立体几何问题【结束】(18)【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21nnnbaa，从而22112112nnnnnnnncbbaaaada，因此根据等差数列定义可证：