2016年天津市高考文科数学试题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，共40分参考公式：如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A)P(B)．柱体的体积公式V柱体=Sh，圆锥的体积公式V=31Sh其中S表示柱体的底面积其中其中S表示锥体的底面积，h表示圆锥的高．h表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合}3,2,1{A，},12|{AxxyyB，则AB=（A）}3,1{（B）}2,1{（C）}3,2{（D）}3,2,1{（2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（A）65（B）52（C）61（D）31（3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为学科&网（4）已知双曲线)0,0(12222babyax的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02yx垂直，则双曲线的方程为（A）1422yx（B）1422yx（C）15320322yx（D）12035322yx（5）设0x，Ry，则“yx”是“||yx”的（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（6）已知)(xf是定义在R上的偶函数，且在区间)0,(上单调递增，若实数a满足)2()2(|1|ffa，则a的取值范围是（A）)21,(（B）),23()21,(（C）)23,21(（D）),23(（7）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点ED,分别是边BCAB,的中点，连接DE并延长到点F，使得EFDE2，则BCAF的值为（A）85（B）81（C）41（D）811（8）已知函数)0(21sin212sin)(2xxxf，Rx.若)(xf在区间)2,(内没有零点，则的取值范围是（A）]81,0(（B）)1,85[]41,0(（C）]85,0(（D）]85,41[]81,0(第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i是虚数单位，复数z满足(1)2iz，则z的实部为_______.学科&网（10）已知函数()(2+1),()xfxxefx为()fx的导函数，则(0)f的值为__________.（11）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为_______.（第11题图）（12）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点(0,5)M在圆C上，且圆心到直线20xy的距离为455，则圆C的方程为__________.（13）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.(14)已知函数2(43)3,0()(01)log(1)1,0axaxaxfxaaxx且在R上单调递减，且关于x的方程|()|23xfx恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是学科&网_________.（15）（本小题满分13分）在ABC中，内角CBA,,所对应的边分别为a,b,c，已知sin23sinaBbA.(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若1cosA3，求sinC的值学科.网.(16)(本小题满分13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y不是生产甲、乙两种肥料的车皮数.(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；学科.网(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.(17)(本小题满分13分)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.(Ⅰ)求证：FG||平面BED；(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.(18)(本小题满分13分)已知na是等比数列，前n项和为nSnN，且6123112,63Saaa.(Ⅰ)求na的通项公式；(Ⅱ)若对任意的,bnnN是2logna和21logna的等差中项，求数列21nnb的前2n项和.（19）（本小题满分14分）设椭圆13222yax（3a）的右焦点为F，右顶点为A，已知||3||1||1FAeOAOF，其中O为原点，e为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；学.科.网（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若HFBF，且MAOMOA，求直线的l斜率.（20）（本小题满分14分）设函数baxxxf3)(，Rx，其中Rba,（Ⅰ）求)(xf的单调区间；（Ⅱ）若)(xf存在极值点0x，且)()(01xfxf，其中01xx，求证：0201xx；（Ⅲ）设0a，函数|)(|)(xfxg，求证：)(xg在区间]1,1[上的最大值不小于．．．41.2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第I卷一、选择题：（1）【答案】A（2）【答案】A（3）【答案】B（4）【答案】A（5）【答案】C（6）【答案】C（7）【答案】B（8）【答案】D第Ⅱ卷二、填空题：（9）【答案】1（10）【答案】3（11）【答案】4（12）【答案】22(2)9.xy（13）【答案】233(14)【答案】12[,)33三、解答题（15）【答案】（Ⅰ）6B（Ⅱ）2616【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：2sinsincos3sinBsinABBA,再根据三角形内角范围化简得23cosB，6B（Ⅱ）已知两角，学科&网求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解试题解析：（Ⅰ）解：在ABC中，由BbAasinsin，可得AbBasinsin，又由AbBasin32sin得BaAbBBasin3sin3cossin2，所以23cosB，得6B；（Ⅱ）解：由31cosA得322sinA，则)sin()](sin[sinBABAC，所以)6sin(sinAC6162cos21sin23AA考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理【结束】(16)【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元【解析】试题分析：（Ⅰ）根据生产原料不能超过A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（Ⅱ）目标函数为利润yxz32，学.科网根据直线平移及截距变化规律确定最大利润试题解析：（Ⅰ）解：由已知yx,满足的数学关系式为003001033605820054yxyxyxyx，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.(1)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO（Ⅱ）解：设利润为z万元，则目标函数yxz32，这是斜率为32，随z变化的一族平行直线.3z为直线在y轴上的截距，当3z取最大值时，z的值最大.又因为yx,满足约束条件，所以由图2可知，学.科网当直线yxz32经过可行域中的点M时，截距3z的值最大，即z的值最大.解方程组30010320054yxyx得点M的坐标为)24,20(M，所以112243202maxz.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.M2x+3y=z2x+3y=0(2)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO考点：线性规划【结束】(17)【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）65【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，学.科网即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取BD的中点为O，可证四边形OGFE是平行四边形，从而得出OEFG//（Ⅱ）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解出090ADB，即ADBD（Ⅲ）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点A作DEAH于点H，则AH平面BED，从而直线AB与平面BED所成角即为ABH.再结合三角形可求得正弦值试题解析：（Ⅰ）证明：取BD的中点为O，连接OGOE,，在BCD中，因为G是BC的中点，所以DCOG//且121DCOG，又因为DCABABEF//,//，所以OGEF//且OGEF，即四边形OGFE是平行四边形，所以OEFG//，又FG平面BED，OE平面BED，所以//FG平面BED.（Ⅱ）证明：在ABD中，060,2,1BADABAD，由余弦定理可3BD，进而可得090ADB，即ADBD，学.科网又因为平面AED平面BDABCD,平面ABCD；平面AED平面ADABCD，所以BD平面AED.又因为BD平面BED，所以平面BED平面AED.（Ⅲ）解：因为ABEF//，所以直线EF与平面BED所成角即为直线AB与平面BED所成角.过点A作DEAH于点H，连接BH，又因为平面BED平面EDAED，由（Ⅱ）知AH平面BED，所以直线AB与平面BED所成角即为ABH.在ADE中，6,3,1AEDEAD，由余弦定理可得32cosADE，所以35sinADE，因此35sinADEADAH，在AHBRt中，65sinABAHABH，所以直线AB与平面BED所成角的正弦值为65考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角【结束】(18)【答案】（Ⅰ）12nna（Ⅱ）22n【解析】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由2111211qaqaa解得1,2qq，分别代入631)1(61qqaSn得1q，11a（Ⅱ）先根据等差中项得21)2log2(log21)log(log21212122naabnnnnn，再利用分组求和法求和：2212212221224232221222)(2)()()(nbbnbbbbbbbbbTnnnnn试题解析：（Ⅰ）解：设数列}{na的公比为q，由已知有2111211qaqaa，解之可得1,2qq，又由631)1(61qqaSn知1q，所以6321)21(61a，解之得11