2015东北三省三校一模联考数学(理)试题

东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合21xx，220xxx，则（）A．01xxB．01xxC．11xxD．21xx2、复数212ii（）A．22iB．1iC．iD．i3、点1,1到抛物线2yax准线的距离为2，则a的值为（）A．14B．112C．14或112D．14或1124、设nS是公差不为零的等差数列na的前n项和，且10a，若59SS，则当nS最大时，n（）A．6B．7C．10D．95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．2012B．2013C．2014D．20156、下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题:pRx，使得210xx，则:pRx，均有210xx②p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件③命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题④“1m”是“直线1:l2110mxmy与直线2:l330xmy垂直”的充要条件A．1个B．2个C．3个D．4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．8C．10D．128、设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为，焦点F到一条渐近线的距离为d，若F3d，则双曲线离心率的取值范围是（）A．1,2B．2,C．1,3D．3,9、不等式组2204xy表示的点集记为，不等式组220xyyx表示的点集记为，在中任取一点，则的概率为（）A．932B．732C．916D．71610、设二项式12nx（n）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为na，nb，则1212nnaaabbb（）A．123nB．1221nC．12nD．111、已知数列na满足3215334nannm，若数列的最小项为1，则m的值为（）A．14B．13C．14D．1312、已知函数21102ln10xxfxxx，若函数Fxfxkx有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．0,1B．10,2C．1,12D．1,二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、向量a，b满足1a，2b，2abab，则向量a与b的夹角为．14、三棱柱111CC各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C120，CC23，14，则这个球的表面积为．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数sin2cosyxx（0）的图象关于直线1x对称，则sin2．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）已知C的面积为2，且满足0C4，设和C的夹角为．1求的取值范围；2求函数22sin3cos24f的取值范围．18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为，求的分布列及数学期望．19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD的底面是边长为1的正方形，底面CD，、F分别为、C的中点．求证：F//平面D；若2，试问在线段F上是否存在点Q，使得二面角QD的余弦值为55？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点为1F、2F，点2,2在椭圆上，且2F与x轴垂直．1求椭圆的方程；2过作直线与椭圆交于另外一点，求面积的最大值．21、（本小题满分12分）已知a是实常数，函数2lnfxxxax．1若曲线yfx在1x处的切线过点0,2，求实数a的值；2若fx有两个极值点1x，2x（12xx），求证：102a；求证：2112fxfx．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C中，C90，以为直径的圆交C于点，点D是C边的中点，连接D交圆于点．求证：D是圆的切线；求证：DCDCD．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是3212xtmyt（t为参数）．求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；设点,0m，若直线l与曲线C交于，两点，且1，求实数m的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数212fxxx．解不等式0fx；若0Rx，使得2024fxmm，求实数m的取值范围．东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A10.C11.B12.C二．填空题：13.90014.6415.8416.54三．解答题：17.解：（Ⅰ）设ABC△中角ABC，，的对边分别为abc，，，则由已知：2sin21bc，4cos0bc，4分可得1tan，所以：)2,4[．6分（Ⅱ）2π()2sin3cos24fπ1cos23cos22(1sin2)3cos2πsin23cos212sin213．8分)2,4[，)32,6[32，π22sin2133∴≤≤．即当5π12时，max()3f；当π4时，min()2f．所以：函数)(f的取值范围是]3,2[12分18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下:2分3分年龄(岁)0.010.020.030.040.050.060.070.080.0920253035404550频率组距平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21（岁）6分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X的可能取值为0,1,23821)0(222015CCXP3815)1(22011515CCCXP382)2(22025CCXP9分X的分布列为X012P3821381538210分期望2138223815138210)(XE（人）12分19.证明:(Ⅰ)取PD中点M,连接MAMF,,在△CPD中,F为PC的中点,DCMF21//,正方形ABCD中E为AB中点,DCAE21//,MFAE//故：EFMA为平行四边形AMEF//2分又EF平面PAD,AM平面PAD//EF平面PAD4分(Ⅱ)如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系:111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222PBCEF由题易知平面PAD的法向量为)0,1,0(n，6分假设存在Q满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQEFEFQ,]1,0[1(0,0,2),(,,),22APAQ设平面PAQ的法向量为(,,)mxyz,10(1,,0)220xyzmz10分21,cosnmnmnm由已知：5512解得：21所以：满足条件的Q存在，是EF中点。12分xyzQ20.（1）有已知：2c，22ba222,4ab故椭圆方程为22184xy4分(2)当AB斜率不存在时：1222222AOBS6分当AB斜率存在时:设其方程为：2222ykxk由22(22)2=8ykxkxy得2222142222280kxkkxk由已知：22221622821224kkkk28220k即：22k222222121kABkk8分O到直线AB的距离：2221kdk12422212kdABSABC10分222122kk2211,22,k2422,00,221k此时]22,0(AOBS综上所求：当AB斜率不存在或斜率为零时：0AB面积取最大值为2212分21.解(1)由已知:/()ln12(0)fxxaxx,切点(1,)Pa1分切线方程:(21)(1)yaax,把(0,2)代入得:1a3分(2)(Ⅰ)依题意:/()0fx有两个不等实根1212,()xxxx设()ln21gxxax则:/1()2(0)gxaxx①当0a时:/()0gx,所以()gx是增函数,不符合题意;5分②当0a时:由/()0gx得:102xa列表如下:x1(0,)2a12a1(,)2a/()gx0()gx↗极大值↘依题意:11()ln()022gaa,解得:102a综上所求:102a得证;8分(Ⅱ)由(Ⅰ)知:/(),()fxfx变化如下:x1(0,)x1x12(,)xx2x2(,)x/()fx0+0()fx↘↗↘由表可知:()fx在12[,]xx上为增函数,所以:21()()fxfx10分又/(1)(1)210fga,故1(0,1)x由(Ⅰ)知:111ln2xax,2111111111()ln(xln)(01)2fxxxaxxxx设1()(ln)(01)2hxxxxx,则/1()ln02hxx成立,所以()hx单调递减,故:1()(1)2hxh,也就是11()2fx综上所证:211()()2fxfx成立.12分22.选修4-1:几何证明选讲证明：（Ⅰ）连结OE.∵点D是BC的中点，点O是AB的中点，∴ACOD21//，∴EODAEOBODA,.∵OEOA，∴AEOA，∴EODBOD.3分在EOD和BOD中，∵OBOE，BODEOD，ODOD，∴EOD≌BOD，∴90OBDOED，即EDOE.∵E是圆O上一点，∴DE是圆O的切线.5分（Ⅱ）延长DO交圆O于点F.∵EOD≌BOD，∴DBDE.∵点D是BC的中点，∴D