2015东北三省三校一模联考数学(文)试题

东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．１．已知集合2{0,},{30},AbBxZxx若,AB则b等于（）A．1B．2C．3D．1或2２．复数212ii（）Ａ．iＢ．iＣ．2(2)iＤ．1i３．ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“ab”是“cos2cos2AB”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件４．向量a,b满足1,2,()(2),ababab则向量a与b的夹角为（）Ａ．45Ｂ．60Ｃ．90Ｄ．120５．实数m是0,6上的随机数，则关于x的方程240xmx有实根的概率为（）Ａ．14Ｂ．13Ｃ．12Ｄ．23６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A．63Ｂ．263Ｃ．362Ｄ．62７．椭圆2214xy两个焦点分别是12,FF，点P是椭圆上任意一点，则12PFPF的取值范围是（）Ａ．1,4Ｂ．1,3Ｃ．2,1Ｄ．1,1８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，球心为点Ｏ，AB过点Ｏ，CACB,DADB,1DC,则三棱锥ABCD的体积为（）A．36Ｂ．33Ｃ．3Ｄ．6９．已知数列na满足*312lnlnlnln32()258312naaaannNn，则10a=（）Ａ．26eＢ．29eＣ．32eＤ．35e10．执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于１，则输入的t值不能是下面的（）Ａ．8Ｂ．9Ｃ．10Ｄ．1111．若函数32()236fxxmxx在区间2,上为增函数，则实数m的取值范围是（）Ａ．,2Ｂ．,2Ｃ．5,2Ｄ．5,212．函数()lg(1)sin2fxxx的零点个数为（）Ａ．９Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．12开始结束输入t0S1k3sinkSStk1kk输出S否是（第10题图）（第６题图）22２２２正视图侧视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．若等差数列na中，满足46201020128aaaa，则2015S=_________．14．若变量,xy满足约束条件32969xyxy，则2zxy的最小值为．15．已知双曲线C：221164yx，点P与双曲线C的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点为1P，则11PAPB=____．16．若函数()fx满足:（ⅰ）函数()fx的定义域是R；（ⅱ）对任意12,xxR有121212()()2()()fxxfxxfxfx；（ⅲ）3(1)2f.则下列命题中正确的是_____.（写出所有正确命题的序号）①函数()fx是奇函数；②函数()fx是偶函数；③对任意12,nnN，若12nn，则12()()fnfn；④对任意xR，有()1fx.三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）已知ABC的面积为,2且满足04,ABAC设AB和AC的夹角为．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求函数2cos3)4(sin2)(2f的值域．18．（本题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：3/gm）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.008频率组距空气污染指数（3/gm）050100150200DCBAFE级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年１月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数(单位：3/gm)0,5050,100100,150150,200监测点个数1540y10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,xy的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，60BCD，四边形BDEF是正方形，且DE平面ABCD.(Ⅰ)求证://CF平面AED；(Ⅱ)若2AE，求多面体ABCDEF的体积V.20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点(2,0)，且被y轴所截得的弦长为4.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹1C的方程;(Ⅱ)过点(1,2)P分别作斜率为12,kk的两条直线12,ll，交1C于,AB两点(点,AB异于点P),若120kk，且直线AB与圆2:C221(2)2xy相切，求△PAB的面积.21．（本题满分12分）已知实数a为常数，函数2ln)(axxxxf．（Ⅰ）若曲线)(xfy在1x处的切线过点Ａ)2,0(，求实数a值；（Ⅱ）若函数)(xfy有两个极值点1212,()xxxx．①求证：021a；②求证：1()0fx，21)(2xf．请从下面所给的22,23,24三题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。请考生在第22,23,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分,做答时请写清题号．22．（本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，在ABC中，90ABC，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M.（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；（Ⅱ）求证：ABDMACDMBCDE.23．（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是cos2，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是tymtx2123（t为参数）.（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设点P)0,(m，若直线l与曲线C交于BA,两点，且1|PBPA|||，求实数m的值.24．（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲设函数|2||12|)(xxxf.（Ⅰ）解不等式0)(xf；（Ⅱ）若Rx0，使得mmxf42)(20，求实数m的取值范围.CDMOBEA东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试文科数学试题参考答案一、选择题二．填空题13．403014．－615．－1616．②③④三.解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设ABC△中角ABC，，的对边分别为abc，，，则由已知：2sin21bc，4cos0bc，……4分可得1tan，所以：)2,4[．……6分（Ⅱ）2π()2sin3cos24fπ1cos23cos22(1sin2)3cos2πsin23cos212sin213．……8分)2,4[，)32,6[32，π22sin2133∴≤≤．即当5π12时，max()3f；当π4时，min()2f．所以：函数)(f的值域是]3,2[……12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1001550003.0xx35100104015yy……2分008.05010040007.05010035002.05010010123456789101112DACCBBCACADDDCBAFE……5分（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1,2,3,空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种，……8分其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种，……10分所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是107)(AP.……12分19．（本小题满分12分）(Ⅰ)证明：ABCD是菱形，//BCAD.又BC平面ADE，AD平面ADE，//BC平面ADE.……2分又BDEF是正方形，//BFDE.BF平面ADE，DE平面ADE，//BF平面ADE.……4分BC平面BCF，BF平面BCF，BCBFB，平面BCF//平面AED.由于CF平面BCF，知//CF平面AED.……6分(Ⅱ)解：连接AC，记ACBDO.ABCD是菱形，ACBD，且BOAO．由DE平面ABCD，AC平面ABCD，DEAC.DE平面BDEF，BD平面BDEF，DEBDD，AC平面BDEF于O，即AO为四棱锥ABDEF的高.……90.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.008频率组距空气污染指数（3/gm）050100150200分由ABCD是菱形，60BCD，则ABD为等边三角形，由2AE，则1ADDE，32AO，1BDEFS，1336BDEFBDEFVSAO，323BDEFVV.……12分20．（本小题满分12分）解:(Ⅰ)设动圆圆心坐标为(,)xy，半径为r，由题可知2222222(2)42xyryxxr；动圆圆心的轨迹方程为24yx……4分(Ⅱ)设直线1l斜率为k,则12:2(1);:2(1).lykxlykx点P（1,2）在抛物线24yx上22448402(1)yxkyykykx设1122(,),(,)AxyBxy,0恒成立，即,012k有1k118442,2,,PPkkyyyykk代入直线方程可得212(2)kxk……6分同理可得2222(2)42,kkxykk……7分212221242421(2)(2)ABkkyykkkkkxxk……9分不妨设:ABlyxb.因为直线AB与圆