2012文科数学回归教材 6数列

新课标——回归教材数列1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集*N(或它的有限子集{1,2,3,,}n)的特殊函数数列的通项公式也就是相应函数的解析式.典例:1)已知*2()156nnanNn,则在数列{}na的最大项为125;2)数列{}na的通项为(,)1nanaabRbn,则na与1na的大小关系为1nnaa;3)数列{}na的通项为2nann,若{}na递增,则实数的取值范围3;4)一给定函数()yfx的图象在下列图中,并且对任意1(0,1)a,由关系式1()nnafa得到的数列{}na满足*1()nnaanN,则该函数的图象是(A)ABCD2.等差数列的有关概念:(1)等差数列的判断方法:①定义法*1(nnaadd为常数,nN）、②等差中项法1111(2)2(2)nnnnnnnaaaanaaan.典例:设{}na是等差数列,求证:以bn=12(*)naaanNn为通项公式的数列{}nb为等差数列.(2)等差数列的通项:1(1)naand或()nmaanmd.典例:1)等差数列{}na中,1030a,2050a,则通项na210n;2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是833d;(3)等差数列的前n和:1()2nnnaaS,1(1)2nnnSnad.典例:1)数列{}na中,11(2)2nnaan,32na,152nS,则1a-3,n=10;2)已知数列{}na的前n项和212nSnn,求数列{||}na的前n项和.nT（答:2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）.(4)等差中项:若,,aAb成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且2abA.提醒:(1)等差数列的,nnaS公式中,涉及到5个元素:1,,,,nnadnaS其中1,ad称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2.(2)为减少运算量,要注意设元的技巧:如奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2adadaadad…（公差为d）;偶数个数成等差,可设为…,3,,,3adadadad,…（公差为2d）3.等差数列的性质:(1)当公差0d时,等差数列的①通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数,且斜率为公差d;所以,1)若公差0d,则{}na为递增等差数列;2)若公差0d,则{}na为递减等差数列,3)若公差0d,则{}na为常数列.②前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.提醒:若2(0)nSanbncc时,{}na不是等差数列,但从第二项起(含第二项)为等差数列.(3)当mnpq时,则有mnpqaaaa,特别地,当2mnp时,则有2mnpaaa.典例:1)等差数列{}na中,12318,3,1nnnnSaaaS,则n＝27;2)在等差数列na中,10110,0aa,且1110||aa,nS是其前n项和,则(B)A.1210,SSS都小于0,1112,SS都大于0B.1219,SSS都小于0,2021,SS都大于0C.125,SSS都小于0,67,SS都大于0D.1220,SSS都小于0,2122,SS都大于0(4)若{}na,{}nb是等差数列,则{}nka、{}nnkapb(k、p是非零常数)、*{}(,)pnqapqN、232,,nnnnnSSSSS,…也成等差数列(注:其新公差与原数列的公差关系为:2dmd),而{}naa成等比数列;若{}na是等比数列,且0na,则{lg}na是等差数列.典例:等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为225;(5)等差数列{}na中,项数为偶数2n时,SSnd偶奇－;项数为奇数21n时,SSa奇偶中,21(21)nSna中(这里a中即na);:(1):SSkk奇偶.典例:1)在等差数列中,S11＝22,则6a＝2;2)项数为奇数的等差数列{}na中,80,75SS奇偶,求此数列的中间项与项数(答:5;31).(6)若等差数列{}na,{}nb的前n和分别为nnAB、,则2121(21)(21)nnnnnnanaAbnbB.典例:若{na},{nb}是等差数列,它们前n项和分别为nS,nT,若3143nnSnTn,则nnab6287nn.(7)等差数列{}na的前n项和nS的最值求法:法一(二次函数法):由21()22nddSnan解析式结合二次函数图象求解;法二(通项比较法):具体操作如下①当0d时,可求nS的最大值;第一,若10a时,显然max1()nSS;若10a时,设前m项和最大,则应满足100mmaa;特别地,当10ma时,则max1()nmmSSS;②当0d时,可求nS的最小值;第一,若10a时,显然min1()nSS;若10a时,设前m项和最小,则应满足100mmaa;特别地,当10ma时,则min1()nmmSSS;典例:1)等差数列{}na中,125a,917SS,则数列前13项和最大,最大值为169.2)若{}na是等差数列,首项10,a200320040aa,200320040aa,则使前n项和0nS成立的最大正整数n是4006;4.等比数列的有关概念:(1)等比数列的判断方法:①定义法1(nnaqqa为常数）,其中0,0nqa;②等比中项法11(2)nnnnaanaa或211(2,0)nnnnaaana.注:211(2,0)nnnnaaana是数列{}na等比的必要不充分条件.(想想为什么?)典例:1)一个等比数列{na}共有21n项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则1na为56;2)数列{}na中,141(2)nnSam且1a=1,若12nnnbaa,求证:数列{}nb是等比数列.(2)等比数列的通项:11nnaaq或nmnmaaq.典例:数列{}na等比,166naa,21128naa,126nS,求n和公比q.(答:6n,12q或2)(3)等比数列的前n和:当1q时,1nSna;当1q时,11(1)11nnnaaqaqSqq.典例:1)等比数列中,2q,9977S,求3699aaa（答:44）;2)已知{}na等比,其123,2,3SSS成等差数列,则公比q13.特别提醒:等比数列前n项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n项和时,首先要判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q是否为1时,要对q分1q和1q两种情形讨论求解.（4）等比中项:若,,aAb成等比数列,那么A叫做a与b的等比中项.提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个ab.典例:两个正数,()abab的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为AB.提醒:(1)等比数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:1a、q、n、na及nS,其中1a、q称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2;(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…,22,,,,aaaaqaqqq…（公比为q）;但偶数个数成等比时,不能设为…33,,,aaaqaqqq,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为2q.典例:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数.(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)5.等比数列的性质:(1)当mnpq时,则有mnpqaaaa,特别地,当2mnp时,则有2mnpaaa.典例:1)在等比数列{}na中,3847124,512aaaa,公比q是整数,则10a=512;2)等比数列{}(0)nnaa中,若569aa,则3132310logloglogaaa10.(2)若{}na是等比数列,则{||}na、*{}(,)pnqapqN、{}nka成等比数列;若{}{}nnab、成等比数列,则{}nnab、{}nnab成等比数列;若{}na是等比数列,且公比1q,则数列232,,nnnnnSSSSS,…也是等比数列(其新公比与原数列公比之间关系式为mqq).注:当1q,且n为偶数时,数列232,,nnnnnSSSSS,…是常数数列0,它不是等比数列.典例:1)已知0a且1a,设数列{}nx满足1log1logananxx(*)nN,且12xx100100x,则101102200xxx100100a;2)在等比数列{}na中,nS为其前n项和,若3010103013,140SSSS,则20S的值为40.(3)若10,1aq,则{}na为递增数列;若10,1aq,则{}na为递减数列;若10,01aq,则{}na为递减数列;若10,01aq,则{}na为递增数列;若0q,则{}na为摆动数列;若1q,则{}na为常数列.(4)当1q时,1111nnnaaSqaqbqq,这里0ab,但0,0ab,这是等比数列前n项和公式的一个特征,据此很容易根据nS,判断数列{}na是否为等比数列.典例:1)若{}na是等比数列,且其前n项和nS满足:3nnSr,则r＝-1.2)等比数列{}na前n项和2,nnSa等差数列{}nb前n项和22,nTnnb则ab-1.(5)mnmnmnnmSSqSSqS.典例:1)设等比数列{}na的公比为q,若12,,nnnSSS成等差数列,则q的值-2.2)在等比数列{}na中,公比1q,设前n项和为nS.若2224246,()xSSySSS,则,xy的大小关系是(B)A.xyB.xyC.xyD.不确定(6)数列{}na等比,当项数为偶数2n时,SqS偶奇;项数为奇数21n时,1SaqS奇偶.(7)如果数列{}na既成等差数列又成等比数列,那么数列{}na是非零常数数列.提醒:故常数数列{}na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.典例:设数列{}na的前n项和为(N)nSn,关于数列{}na有下列三个命题:①若1(N)nnaan,则na既是等差数列又是等比数列;②若2RnSanbnab、,则{}na是等差数列;③若11nnS,则{}na是等比数列.这些命题中,真命题的序号是②③.6.数列的通项求法:⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式.典例:已知数列11113,5,7,9,481632试写出其一个通项公式:11212nnan.⑵已知nS(即12()naaafn)求na,用作差法:11(1)(2)nnnSnaSSn.典例:1)已知{}na的前n项和满足2log(1)1nSn,求na.（答:3(1)2(2)nnnan）;2)数列{}na满足12211125222nnaaan,求na.（答:114(1)2(2)nnnan）⑶已知12()naaafn求na,用作商法:(1)(1)()(2)(1)nfnafnnfn.典例:数列{}na中,11,a对所有的2n都有2123naaaan,则35aa6116.⑷若1()nnaafn求na用