2012文科数学回归教材 2函数

新课标——回归教材函数1.函数:fAB的概念.理解注意(1):AB、都是非空数集;(2)任意性:集合A中的任意一个元素x;(3)唯一性:在集合B中有唯一确定的数()fx和它对应;(3)定不定:集合A一定是函数的定义域,集合B不一定是函数的值域,函数值域一定是集合B的子集.典例:(1)函数图像与直线()xmmR至多有一个公共点,但与直线()ynnR的公共点可能没有,也可能有任意个.(2)已知{(,)|(),},{(,)|1}AxyyfxxFBxyx,则集合AB中元素有0或1个;(3)若函数21242yxx的定义域、值域都是闭区间[2,2]b,则b＝2.2.同一函数.函数三要素是:定义域,值域和对应法则.而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数.典例:若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么解析式为2yx,值域为{4,1}的“孪生函数”共有9个.3.映射:fAB的概念.理解注意:映射是函数概念的推广,表现在集合AB、可以为任意非空集合,不一定是表示数,可以是其它人或事物本身.典例:(1)设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}MN,映射:fMN满足条件“对任意的xM,()xfx是奇数”,这样的映射f有12个;(2)设2:fxx是集合A到集合B的映射,若{1,2}B,则AB一定是1或.4.求函数定义域的常用方法（一切函数问题:定义域优先）(1)使函数的解析式有意义.解析式求定义域解析式求定义域解析式求定义域()(nyuxn为偶数)()0ux1()yux()0ux0[()]yux()0uxlogayx(aR,1a)0xtanyx()2xkkZ典例:(1)函数24lg3xxyx的定义域是[0,2)(2,3)(3,4);(2)若函数2743kxykxkx的定义域为R,则k34[0,);(3)函数()fx定义域是[,]ab,且0ba,则函数()()()Fxfxfx定义域是[,]aa;(4)设函数2()lg(21)fxaxx,①若()fx的定义域是R,求实数a的取值范围;②若()fx的值域是R,求实数a的取值范围（答:①1a;②01a）(2)使实际问题有意义.实际问题有意义实际问题有意义实际问题有意义三角形中0A，最大角3,最小角3距离或弧长或面积或体积等为正数年月日等为正整数(3)复合函数的定义域.简单函数定义域复合函数定义域求法备注若已知()fx的定义域为[,]ab则[()]fgx的定义域由不等式()agxb解出解不等式复合函数定义域简单函数定义域求法备注若[()]fgx的定义域为[,]ab则()fx的定义域为()gx在[,]ab上的值域求值域法典例:(1)若函数()yfx的定义域为12[,2],则2(log)fx的定义域为4}|2{xx;(2)若函数2(1)fx的定义域为[2,1),则函数()fx的定义域为[1,5]x．5.求函数值域(最值)的方法:(1)配方法——二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间[,]mn上的最值;二是求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题.求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系）.典例:(1)函数225,[1,2]yxxx的值域是[4,8];(2)已知2()4(1)3()fxaxaxx在2x时有最大值,则a1[,)2;(2)换元法——通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式.典例:(1)22sin3cos1yxx的值域为178[4,];(2)211yxx的值域为[3,);（令10xt,注意:换元要等价）;(3)sincossincosyxxxx的值域为12[1,2];(4sincos2sin()txxx…)(4)249yxx的值域为[1,324];(令3cos()x…)(3)函数有界性法——利用已学过函数的有界性,如三角函数的有界性.典例:函数2sin11siny,313xxy,2sin11cosy值域分别是:3122(,],(0,1),(,];(4)单调性法——利用函数的单调性.典例:(1)求1(19)yxxx,229(1sin)sinxyx,532log1xyx的值域为801192(0,)[,9]R、、;(5)数形结合法——函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率等.典例:(1)若点22{(,)|1}Pxyxy,则2yx及2yx的取值范围3333[,][5,5]、;(2)函数22(2)(8)yxx的值域[10,);(3)函数2261345yxxxx的值域[34,)注意:异侧和最小,同侧差最大.(6)判别式法——分式函数(分子或分母中有一个是二次),其定义域通常为R典例:(1)函数22(1)xxy的值域[1,1](2)若2328log1mxxnyx的定义域为R,值域为[0,2],求常数,mn的值（答:5mn）(7)不等式法——利用基本不等式2(,)abababR求函数的最值或值域.其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和平方等技巧.典例:(1)2bykx型,可直接用不等式性质,如函数232yx的值域32(0,].(2)2xmxnymxn型,,如函数211xxyx的值域(,3][1,)(3)2bxyxmxn型,如①函数21xyx的值域1122[,];②函数23xyx的值域12[0,].(4)设12,,,xaay成等差数列,12,,,xbby成等比数列,则21212()aabb的取值范围是(,0][4,).(8)导数法——一般适用于高次多项式函数.典例:函数32()2440fxxxx,[3,3]x的最小值是48.提醒:(1)写函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗？(2)函数的最值与值域之间有何关系？典例:函数3(13,yxx且)xZ的值域是{3,0,3,6,9},不要错觉为[3,9].6.分段函数的概念.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数.在求分段函数的值0()fx时,一定首先要判断0x属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.典例:(1)设函数2(1),(1)()41.(1)xxfxxx,则不等式()1fx的解集为(,2][0,10];(2)已知1(0)()1(0)xfxx　　　　,则不等式(2)(2)5xxfx的解集是32(,].7.求函数解析式的常用方法:(1)待定系数法——已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种:一般式:2()fxaxbxc;顶点式:2()()fxaxmn;零点式:12()()()fxaxxxx,要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式.典例:若()fx为二次函数,且(2)(2)fxfx,且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求()fx的解析式.（答:21()212fxxx）(2)代换(配凑)法——已知形如(())fgx的表达式,求()fx的表达式.典例:(1)已知2(1cos)sin,fxx求2fx的解析式（答:242()2,[2,2]fxxxx）;这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即()fx的定义域应是()gx的值域.(2)若2211()fxxxx,则函数(1)fx=223xx;(3)若()()yfxxR是奇函数,且3()(1)(0)fxxxx,那么(,0)x时,()fx=3(1)xx.(3)方程的思想——已知条件是含有()fx及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关于()fx及另外一个函数的方程组.典例:(1)已知()2()32fxfxx,求()fx的解析式（答:2()33fxx）;(2)已知()fx是奇函数,()gx是偶函数,且()fx+()gx=11x,则()fx=21xx.8.函数的奇偶性.(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.典例:若()fx2sin(3),[25,3]xx为奇函数,其中(0,2),则值是0;(2)确定函数奇偶性的常用方法（若函数解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性）:①定义法:典例:(1)判断函数2|4|49xyx的奇偶性奇函数_.(2)判断函数44()sincos2cosfxxxx的奇偶性既是奇函数又是偶函数;②利用函数奇偶性定义的等价形式:()()0fxfx或()1()fxfx(()0fx).典例:判断11()()212xfxx的奇偶性偶函数.③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.典例:判断1,(0)()1.(0)xxfxxx的奇偶性奇函数.(3)函数奇偶性的性质:①奇(偶)函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同(反).②若()fx为偶函数,则()()(||)fxfxfx.典例:若偶函数()()fxxR在(,0)上单调递减,且1()3f=2,则不等式18(log)2fx的解集为12(0,)(2,)④若奇函数()fx定义域中含有0,则必有(0)0f.故(0)0f是()fx为奇函数的既不充分也不必要条件.典例:若22()21xxaafx为奇函数,则实数a＝1.⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.典例:设()fx是定义域为R的任一函数,()()()2fxfxFx,()()()2fxfxGx.①判断()Fx与()Gx的奇偶性;答案:()()FxGx为偶函数,为奇函数;②若将函数()lg(101)xfx,表示成一个奇函数()gx和一个偶函数()hx之和,则()gx＝2x⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.⑦既奇又偶函数有无穷多个(()0fx,定义域是关于原点对称的任意一个数集).9.函数的单调性.(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法:①在解答题中常用:定义法（取值—作差—变形—定号）、导数法（在区间(,)ab内,若总有()0fx,则()fx为增函数;反之,若()fx在区间(,)ab内为增函数,则()0fx,请注意两者的区别所在.典例:已知函数3()fxxax在区间[1,)上是增函数,则a的取值范围是(,3];②在小题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意双勾函数(,)byaxabRx图象和单调性在解题中的运用:增区间为(,],[,)bbaa,减区间为[,0)ba和(0,]ba.典例:(1)若函数2()2(1)2fxxax在(,4]上是减函数,则a取值范围是3a;(2)已知函数1()2axfxx在区间2,上为增函数,则实数a的取值范围12(,);(3)若函数log(4)0,1axafxxaa且的值域为R,则a的取值范围是041aa且;③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减.典例:函数20