专题能力训练6

Gothedistance1专题能力训练6函数与方程及函数的应用能力突破训练1.函数f(x)={𝑥2+2𝑥-3,𝑥≤0,-2+ln𝑥,𝑥0的零点个数为()A.0B.1C.2D.32.设函数f(x)的零点为x1,函数g(x)=4x+2x-2的零点为x2,若|x1-x2|14,则f(x)可以是()A.f(x)=2x-12B.f(x)=-x2+x-14C.f(x)=1-10xD.f(x)=ln(8x-2)3.(2015北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升4.已知函数f(x)={𝑘𝑥+2,𝑥≤0,ln𝑥,𝑥0(k∈R).若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是()A.k≤2B.-1k0C.-2≤k-1D.k≤-25.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为.6.(2015湖南高考)已知函数f(x)={𝑥3,𝑥≤𝑎,𝑥2,𝑥𝑎.若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.7.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下:①若一次性购物不超过200元,则不给予优惠;②若一次性购物超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若一次性购物超过500元,则500元按第②条给予优惠,剩余部分给予7折优惠.甲单独购买A商品实际付款100元,乙单独购买B商品实际付款450元,若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款元.8.(2015安徽高考)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是.(写出所有正确条件的编号)①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.9.已知函数f(x)=2x,g(x)=12|𝑥|+2.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.Gothedistance210.如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为110;②其他面的淋雨量之和,其值为12.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=32时,(1)写出y的表达式;(2)设0v≤10,0c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少.思维提升训练11.已知函数f(x)=a(𝑥-1𝑥)-2lnx(a∈R),g(x)=-𝑎𝑥.若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)g(x0)成立,则实数a的范围为()A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[0,+∞)D.(0,+∞)12.(2015天津高考)已知函数f(x)={2-|𝑥|,𝑥≤2,(𝑥-2)2,𝑥2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.513.(2015北京高考)设函数f(x)={2𝑥-𝑎,𝑥1,4(𝑥-𝑎)(𝑥-2𝑎),𝑥≥1.①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.14.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)={10.8-130𝑥2,0𝑥≤10,108𝑥-10003𝑥2,𝑥10.(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;Gothedistance3(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.(注:年利润=年销售收入-年总成本)15.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满足函数关系:x=2000√𝑞.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:t)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)在乙方年产量为q(单位:t)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?参考答案能力突破训练1.C解析:当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;当x0时,令-2+lnx=0,解得x=e2.所以已知函数有2个零点.故选C.2.C解析:依题意得g(14)=√2+12-20,g(12)=10,则x2∈(14,12).若f(x)=1-10x,则有x1=0,此时|x1-x2|14,因此选C.3.B解析:因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量为48升.而这段时间内行驶的里程数为35600-35000=600(千米).所以在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为48600×100=8(升).故选B.4.D解析:由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k≥0,所以k≤0,作出函数y=|f(x)|的图象,Gothedistance4要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2.故选D.5.f(a)f(1)f(b)解析:由题意,知f'(x)=ex+10恒成立,则函数f(x)在R上是单调递增的,因为f(0)=e0+0-2=-10,f(1)=e1+1-2=e-10,所以函数f(x)的零点a∈(0,1).由题意,知g'(x)=1𝑥+10,则函数g(x)在(0,+∞)上是单调递增的.又g(1)=ln1+1-2=-10,g(2)=ln2+2-2=ln20,则函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)f(1)f(b).6.(-∞,0)∪(1,+∞)解析:要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图象与直线y=b有两个不同的交点.当0≤a≤1时,由f(x)的图象(图略)知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点.当a0时,由f(x)的图象(如图①)知,f(x)在(-∞,a]上递增,在(a,0)上递减,在[0,+∞)上递增,且a30,a20,所以,当0ba2时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.图①图②当a1时,由f(x)的图象(如图②)知,f(x)在(-∞,a]上递增,在(a,+∞)上递增,但a3a2,所以当a2b≤a3时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.综上,实数a的取值范围是a0或a1.7.520解析:设商品价格为x元,实际付款为y元,则y={𝑥,0𝑥≤200,0.9𝑥,200𝑥≤500,500×0.9+0.7(𝑥-500),𝑥500,整理,得y={𝑥,0𝑥≤200,0.9𝑥,200𝑥≤500,100+0.7𝑥,𝑥500.∵0.9×200=180100,∴A商品的价格为100元.∵0.9×500=450,∴B商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款520元.8.①③④⑤解析:方程仅有一个实根,则函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个公共点.当a=-3时,f(x)=x3-3x+b,f'(x)=3x2-3,由f'(x)=0,得x=±1,易知f(x)在x=-1处取极大值,在x=1处取Gothedistance5极小值.当b=-3时,f(-1)=-10,f(1)=-50,满足题意,故①正确;当b=2时,f(-1)=40,f(1)=0,图象与x轴有两个公共点,不满足题意,故②不正确;当b2时,f(-1)=2+b4,f(1)=-2+b0,满足题意,故③正确;当a=0和a=1时,f'(x)=3x2+a≥0,f(x)在R上为增函数,所以函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个交点,故④⑤也满足题意.9.解:(1)g(x)=12|𝑥|+2=(12)|𝑥|+2,因为|x|≥0,所以0(12)|𝑥|≤1,即2g(x)≤3,故g(x)的值域是(2,3].(2)由f(x)-g(x)=0,得2x-12|𝑥|-2=0.当x≤0时,显然不满足方程,当x0时,由2x-12𝑥-2=0整理,得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,解得2x=1±√2.因为2x0,所以2x=1+√2,即x=log2(1+√2).10.解:(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为320|v-c|+12,故y=100𝑣(320|𝑣-𝑐|+12)=5𝑣(3|v-c|+10)(v0).(2)由(1)知,当0v≤c时,y=5𝑣(3c-3v+10)=5(3𝑐+10)𝑣-15;当cv≤10时,y=5𝑣(3v-3c+10)=5(10-3𝑐)𝑣+15.故y={5(3𝑐+10)𝑣-15,0𝑣≤𝑐,5(10-3𝑐)𝑣+15,𝑐𝑣≤10.①当0c≤103时,y是关于v的减函数.故当v=10时,ymin=20-3𝑐2.②当103c≤5时,在(0,c]内,y是关于v的减函数;在(c,10]内,y是关于v的增函数.故当v=c时,ymin=50𝑐.思维提升训练11.D解析:若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)g(x0)成立,则f(x)-g(x)0在x∈[1,e]时有解,由f(x)-g(x)0⇔a(𝑥-1𝑥)-2lnx+𝑎𝑥=ax-2lnx0有解,x∈[1,e],则a2ln𝑥𝑥.设F(x)=2ln𝑥𝑥,则F'(x)=2(1-ln𝑥)𝑥2,当x∈[1,e]时,F'(x)=2(1-ln𝑥)𝑥2≥0,所以F(x)在[1,e]上单调递增,即F(x)min=F(1)=0,因此a0即可,故选D.12.A解析:因为f(x)={2+𝑥,𝑥0,2-𝑥,0≤𝑥≤2,(𝑥-2)2,𝑥2,所以f(2-x)={2+(2-𝑥),2-𝑥0,2-(2-𝑥),0≤2-𝑥≤2,(2-𝑥-2)2,2-𝑥2⇒f(2-x)={𝑥2,𝑥0,𝑥,0≤𝑥≤2,4-𝑥,𝑥2,f(x)+f(2-x)={𝑥2+𝑥+2,𝑥0,2,0≤𝑥≤2,𝑥2-5𝑥+8,𝑥2,所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)={𝑥2+𝑥-1,𝑥0,-1,0≤𝑥≤2,𝑥2-5𝑥+5,𝑥2.其图象如图所示.Gothedistance6显然函数图象与x轴有2个交点,故函数有2个零点.13.①-1②[12,1)∪[2,+∞)解析:①当a=1时,f(x)={2𝑥-1,𝑥1,4(𝑥-1)(𝑥-2),𝑥≥1,当x1时,2x-1∈(-1,1);当x≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞).故f(x)的最小值为-1.②若函数f(x)=2x-a的图象在x1时与x轴有一个交点,则a0,并且当x=1时,f(1)=2-a0,所以0a2.同时函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有一个交点,所以{𝑎1,2𝑎≥1.故12