专题能力训练5

Gothedistance1专题能力训练5基本初等函数、函数的图象和性质能力突破训练1.已知f(x)=2x,则函数y=f(|x-1|)的图象为()2.已知a=21.2,b=(12)-0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.cabC.bacD.bca3.函数y=e𝑥+e-𝑥e𝑥-e-𝑥的图象大致为()4.(2015山东高考)若函数f(x)=2𝑥+12𝑥-𝑎是奇函数,则使f(x)3成立的x的取值范围为()A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)5.(2015全国Ⅰ高考)已知函数f(x)={2𝑥-1-2,𝑥≤1,-log2(𝑥+1),𝑥1,且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.-74B.-54C.-34D.-146.设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=()A.-1B.1C.2D.47.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=ex+a.若f(x)在R上是单调函数,则实数a的最小值是.8.(2015全国Ⅰ高考)若函数f(x)=xln(x+√𝑎+𝑥2)为偶函数,则a=.9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),则a的取值范围是.10.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且当x∈[0,12]时,f(x)=-x2,则f(3)+f(-32)的值等于.11.设函数f(x)=(𝑥+1)2+sin𝑥𝑥2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.12.若不等式3x2-logax0在x∈(0,13)内恒成立,求实数a的取值范围.Gothedistance2思维提升训练13.函数y=cos6𝑥2𝑥-2-𝑥的图象大致为()14.(2015甘肃天水一中一模)函数f(x)=9𝑥-𝑎3𝑥的图象关于原点对称,若g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,则a+b=()A.1B.-1C.-12D.1215.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)={𝑎𝑥+1,-1≤𝑥0,𝑏𝑥+2𝑥+1,0≤𝑥≤1,其中a,b∈R.若f(12)=f(32),则a+3b的值为.16.已知实数a≠0,函数f(x)={2𝑥+𝑎,𝑥1,-𝑥-2𝑎,𝑥≥1.若f(1-a)=f(1+a),则a的值为.17.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.参考答案能力突破训练1.D解析:(方法一)f(|x-1|)=2|x-1|,当x=0时,y=2,可排除A,C;Gothedistance3当x=-1时,y=4,可排除B.(方法二)y=2x→y=2|x|→y=2|x-1|,经过图象的对称、平移可得到所求.2.A解析:∵b=(12)-0.8=20.821.2=a,且b1,又c=2log52=log541,∴cba.3.A解析:函数有意义,需使ex-e-x≠0,其定义域为{x|x≠0},排除C,D.因为y=e𝑥+e-𝑥e𝑥-e-𝑥=e2𝑥+1e2𝑥-1=1+2e2𝑥-1,所以当x0时函数为减函数.故选A.4.C解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).即2-𝑥+12-𝑥-𝑎=-2𝑥+12𝑥-𝑎,也就是2𝑥+11-𝑎·2𝑥=-2𝑥+12𝑥-𝑎,∴1-a·2x=a-2x,即(1-a)2x=a-1,∴1-a=0,解得a=1.∴f(x)=2𝑥+12𝑥-1.则2𝑥+12𝑥-13,即2𝑥+1-3(2𝑥-1)2𝑥-10,即-2(2𝑥-2)2𝑥-10,即(2x-2)(2x-1)0,∴12x2,即0x1.5.A解析:∵f(a)=-3,∴当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.当a1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-74.6.C解析:设(x,y)是函数y=f(x)图象上的任意一点,它关于直线y=-x的对称点为(-y,-x),由已知得点(-y,-x)在曲线y=2x+a上,∴-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,即f(x)=-log2(-x)+a.∴f(-2)+f(-4)=-log22+a+(-log24)+a=1,解得a=2.7.-1解析:依题意得f(0)=0,当x0时,f(x)=ex+a,且f(x)在R上为奇函数,所以当x0时,f(x)=-f(-x)=-(e-x+a).由题意知f(x)在R上为单调递增函数,所以当x0时,f(x)max≤f(0),所以-(e-x+a)≤0,即a≥-e-x(x0).因此实数a的最小值是-1.8.1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+√𝑎+1)=ln√𝑎+1+1𝑎,f(1)=ln(1+√𝑎+1),因此ln(√𝑎+1+1)-lna=ln(√𝑎+1+1),于是lna=0,∴a=1.9.[12,2]解析:由题意知a0,又log12a=log2a-1=-log2a.∵f(x)是R上的偶函数,∴f(log2a)=f(-log2a)=f(log12a).∵f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a∈[12,2].10.-14解析:根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f(-32)=f(12)=-14,所以f(3)+f(-32)=0+(-14)=-14.11.2解析:f(x)=(𝑥+1)2+sin𝑥𝑥2+1=1+2𝑥+sin𝑥𝑥2+1,设g(x)=2𝑥+sin𝑥𝑥2+1,则g(-x)=-g(x),故g(x)是奇函数.由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,则M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.12.解:由题意知3x2logax在x∈(0,13)内恒成立.Gothedistance4在同一平面直角坐标系内,分别作出函数y=3x2和y=logax的图象.观察两函数图象,当x∈(0,13)时,若a1,函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以不成立;当0a1时,由图可知,y=logax的图象必须过点(13,13)或在这个点的上方,则loga13≥13,所以a≥127,所以127≤a1.综上,实数a的取值范围为127≤a1.思维提升训练13.D解析:y=cos6𝑥2𝑥-2-𝑥为奇函数,排除A项;y=cos6x有无穷多个零点,排除C项;当x在原点右侧附近时,可保证2x-2-x0,cos6x0,则此时y0,故选D.14.D解析:∵f(x)=9𝑥-𝑎3𝑥关于原点对称,∴函数f(x)是奇函数,∴f(0)=0,a=1.∵g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,∴g(-x)=g(x)对任意的x都成立,∴lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1)+bx,∴lg10𝑥+110𝑥=lg(10x+1)+2bx,∴-x=2bx对一切x恒成立,∴b=-12,∴a+b=12.故选D.15.-10解析:∵f(32)=f(12),∴f(12)=f(-12),∴12𝑏+232=-12a+1,易求得3a+2b=-2.又f(1)=f(-1),∴-a+1=𝑏+22,即2a+b=0,∴a=2,b=-4,∴a+3b=-10.16.-34解析:首先讨论1-a,1+a与1的关系,当a0时,1-a1,1+a1,所以f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a;f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2.因为f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2,所以a=-34.当a0时,1-a1,1+a1,所以f(1-a)=2(1-a)+a=2-a;f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1.因为f(1-a)=f(1+a),所以2-a=-3a-1,所以a=-32(舍去).综上,满足条件的a=-34.17.解:(1)∵f(x)=ex-(1e)𝑥,且y=ex是增函数,y=-(1e)𝑥是增函数,∴f(x)是增函数.∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数,Gothedistance5∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0对x∈R恒成立,∴f(x-t)≥f(t2-x2),∴t2-x2≤x-t,∴x2+x≥t2+t对x∈R恒成立.又(𝑡+12)2≤(𝑥+12)min2对一切x∈R恒成立,∴(𝑡+12)2≤0,∴t=-12.即存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.