Gothedistance1专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是()A.(0,π6]B.[π6,π)C.(0,π3]D.[π3,π)2.已知cos(π-2𝛼)sin(𝛼-π4)=-√22,则sinα+cosα等于()A.-√72B.√72C.12D.-123.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=√3ac,则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π34.在△ABC中,∠ABC=π4,AB=√2,BC=3,则sin∠BAC等于()A.√1010B.√105C.3√1010D.√555.若α∈(π2,π),3cos2α=sin(π4-𝛼),则sin2α的值为()A.118B.-118C.1718D.-17186.(2015广东高考)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=√3,sinB=12,C=π6,则b=.7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且ABC,3b=20acosA,则sinA∶sinB∶sinC=.8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若cos(𝐴+π6)=sinA,求A的值;(2)若cosA=14,4b=c,求sinB的值.9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A+32=2cosA.(1)求角A的大小;(2)若a=1,求△ABC的周长l的取值范围.Gothedistance210.(2015湖南高考)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角.(1)证明:B-A=π2;(2)求sinA+sinC的取值范围.11.(2015山东高考)设f(x)=sinxcosx-cos2(𝑥+π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(𝐴2)=0,a=1,求△ABC面积的最大值.Gothedistance3思维提升训练12.若0απ2,-π2β0,cos(π4+𝛼)=13,cos(π4-𝛽2)=√33,则cos(𝛼+𝛽2)等于()A.√33B.-√33C.5√39D.-√6913.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.当√3sinA-cos(𝐵+π4)取最大值时,角A的大小为()A.π3B.π4C.π6D.2π314.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=2A,cosA=34,b=5,则△ABC的面积为()A.15√74B.15√72C.5√74D.5√7215.(2015全国Ⅰ高考)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.16.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,π3Cπ2,且𝑏𝑎-𝑏=sin2𝐶sin𝐴-sin2𝐶.(1)判断△ABC的形状;(2)若|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2,求𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围.参考答案能力突破训练1.C解析:由正弦定理,得a2≤b2+c2-bc,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,则cosA≥12.∵0Aπ,∴0A≤π3.2.D解析:cos(π-2𝛼)sin(𝛼-π4)=-cos2𝛼sin(𝛼-π4)=sin(2𝛼-π2)sin(𝛼-π4)=2cos(𝛼-π4)=√2cosα+√2sinα=-√22,∴sinα+cosα=-12,故选D.3.D解析:由(a2+c2-b2)tanB=√3ac,得𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=√32·cos𝐵sin𝐵,即cosB=√32·cos𝐵sin𝐵,则sinB=√32.∵0Bπ,∴角B为π3或2π3.故选D.4.C解析:在△ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BCcos∠ABC=(√2)2+32-2×√2×3cosπ4=5.解得AC=√5.由正弦定理𝐵𝐶sin∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐶sin∠𝐴𝐵𝐶,得sin∠BAC=𝐵𝐶·sin∠𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶=3×sinπ4√5=3×√22√5=3√1010.5.D解析:∵3cos2α=sin(π4-𝛼),∴3cos2α-3sin2α=√22(sinα-cosα),Gothedistance4又α∈(π2,π),∴sinα-cosα≠0,∴3(sinα+cosα)=-√22.平方求得sin2α=-1718.6.1解析:由sinB=12解得B=π6或B=5π6.根据三角形内角和定理,舍去B=5π6,所以B=π6,A=2π3.根据正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得√3sin2π3=𝑏sinπ6,解得b=1.7.6∶5∶4解析:∵ABC,∴abc.设a=b+1,c=b-1(b1,且b∈N*),由3b=20acosA得3b=20(b+1)×𝑏2+(𝑏-1)2-(𝑏+1)22𝑏(𝑏-1),化简,得7b2-27b-40=0.解得b=5或b=-87(舍去),∴a=6,c=4,∴sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4.8.解:(1)因为cos(𝐴+π6)=sinA,即cosAcosπ6-sinAsinπ6=sinA,所以√32cosA=32sinA.显然cosA≠0,否则,由cosA=0,得sinA=0,与sin2A+cos2A=1矛盾,所以tanA=√33.因为0Aπ,所以A=π6.(2)因为cosA=14,4b=c,根据余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=15b2,所以a=√15b.因为cosA=14,所以sinA=√1-cos2𝐴=√154.由正弦定理,得√15𝑏sin𝐴=𝑏sin𝐵,所以sinB=14.9.解:(1)根据倍角公式cos2x=2cos2x-1,得2cos2A+12=2cosA,即4cos2A-4cosA+1=0,所以(2cosA-1)2=0,所以cosA=12,因为0Aπ,所以A=π3.(2)根据正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,得b=2√3sinB,c=2√3sinC,所以l=1+b+c=1+2√3(sinB+sinC).因为A=π3,所以B+C=2π3,所以l=1+2√3[sin𝐵+sin(2π3-𝐵)]=1+2sin(𝐵+π6).因为0B2π3,所以l∈(2,3].10.(1)证明:由a=btanA及正弦定理,得sin𝐴cos𝐴=𝑎𝑏=sin𝐴sin𝐵,所以sinB=cosA,即sinB=sin(π2+𝐴).又B为钝角,因此π2+A∈(π2,π),故B=π2+A,即B-A=π2.(2)解:由(1)知,C=π-(A+B)=π-(2𝐴+π2)=π2-2A0,所以A∈(0,π4),于是sinA+sinC=sinA+sin(π2-2𝐴)=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2(sin𝐴-14)2+98.因为0Aπ4,所以0sinA√22,因此√22-2(sin𝐴-14)2+98≤98.由此可知sinA+sinC的取值范围是(√22,98].11.解:(1)由题意知f(x)=sin2𝑥2−1+cos(2𝑥+π2)2=sin2𝑥2−1-sin2𝑥2=sin2x-12.由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z;Gothedistance5由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是[-π4+𝑘π,π4+𝑘π](k∈Z);单调递减区间是[π4+𝑘π,3π4+𝑘π](k∈Z).(2)由f(𝐴2)=sinA-12=0,得sinA=12,由题意知A为锐角,所以cosA=√32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得1+√3bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+√3,且当b=c时等号成立.因此12bcsinA≤2+√34.所以△ABC面积的最大值为2+√34.思维提升训练12.C解析:∵cos(π4+𝛼)=13,0απ2,∴sin(π4+𝛼)=2√23.又cos(π4-𝛽2)=√33,-π2β0,∴sin(π4-𝛽2)=√63,∴cos(𝛼+𝛽2)=cos[(π4+𝛼)-(π4-𝛽2)]=cos(π4+𝛼)cos(π4-𝛽2)+sin(π4+𝛼)sin(π4-𝛽2)=13×√33+2√23×√63=5√39.13.A解析:由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC.因为0Aπ,所以sinA0,从而sinC=cosC.又cosC≠0,所以tanC=1,则C=π4,所以B=3π4-A.于是√3sinA-cos(𝐵+π4)=√3sinA-cos(π-A)=√3sinA+cosA=2sin(𝐴+π6).因为0A3π4,所以π6A+π611π12,从而当A+π6=π2,即A=π3时,2sin(𝐴+π6)取最大值2.故选A.14.A解析:cosA=34,cosC=2cos2A-1=18,则sinC=3√78,tanC=3√7,如图,设AD=3x,AB=4x,CD=5-3x,BD=√7x.在Rt△DBC中,tanC=𝐵𝐷𝐶𝐷=√7𝑥5-3𝑥=3√7,解得BD=√7x=3√72,S△ABC=12BD·AC=15√74.15.(√6−√2,√6+√2)解析:如图.Gothedistance6作CE∥AD交AB于点E,则∠CEB=75°,∠ECB=30°.在△CBE中,由正弦定理得,EB=√6−√2.延长CD交BA的延长线于点F,则∠F=30°.在△BCF中,由正弦定理得,BF=√6+√2,所以AB的取值范围为(√6−√2,√6+√2).16.解:(1)由𝑏𝑎-𝑏=sin2𝐶sin𝐴-sin2𝐶及正弦定理,得sinB=sin2C,∴B=2C或B+2C=π.若B=2C,∵π3Cπ2,∴23πBπ,B+Cπ(舍去).若B+2C=π,又A+B+C=π,∴A=C,∴△ABC为等腰三角形.(2)∵|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2,∴a2+c2+2accosB=4.又由(1)知a=c,∴cosB=2-𝑎2𝑎2.而cosB=-cos2C,∴12cosB1,∴1a243.∵𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=accosB=a2cosB,且cosB=2-𝑎2𝑎2,∴a2cosB=2-a2∈(23,1).∴𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗∈(23,1).