专题能力训练12

Gothedistance1专题能力训练12数列的通项与求和能力突破训练1.已知数列{an}是等差数列,a1=tan225°,a5=13a1,设Sn为数列{(-1)nan}的前n项和,则S2016=()A.2016B.-2016C.3024D.-30242.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,数列{bn}满足bn=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1(n∈N*),Tn是数列{bn}的前n项和,则T9等于()A.919B.1819C.2021D.9403.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n-1,则a3+a17=()A.15B.17C.34D.3984.已知函数f(x)满足f(x+1)=32+f(x)(x∈R),且f(1)=52,则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为()A.305B.315C.325D.3355.已知数列{an},构造一个新数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…,此数列是首项为1,公比为13的等比数列,则数列{an}的通项公式为()A.an=32−32×(13)𝑛,n∈N*B.an=32+32×(13)𝑛,n∈N*C.an={1,𝑛=1,32+32×(13)𝑛,𝑛2,且𝑛∈N*D.an=1,n∈N*6.植树节,某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为m.7.(2014全国Ⅱ高考)数列{an}满足an+1=11-𝑎𝑛,a11=2,则a1=.8.数列{an}满足12a1+122a2+…+12𝑛an=2n+5,n∈N*,则an=.9.已知在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n+1,且n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=2𝑛+1𝑎𝑛𝑎𝑛+1,数列{bn}的前n项和为Tn.如果对于任意的n∈N*,都有Tnm,求实数m的取值范围.10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=0,对任意n∈N*,都有nan+1=Sn+n(n+1).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足an+log2n=log2bn,求数列{bn}的前n项和Tn.Gothedistance211.(2015山东高考)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.思维提升训练12.给出数列11,12,21,13,22,31,…,1𝑘,2𝑘-1,…,𝑘1,…,在这个数列中,第50个值等于1的项的序号是()A.4900B.4901C.5000D.500113.(2015全国Ⅱ高考)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.14.已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和Sn=pn2+2n(n∈N*).(1)求p的值及an;(2)若bn=2(2𝑛-1)𝑎𝑛,记数列{bn}的前n项和为Tn,求使Tn910成立的最小正整数n的值.15.(2015天津高考)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{an}的通项公式;(2)设bn=log2𝑎2𝑛𝑎2𝑛-1,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.Gothedistance3参考答案能力突破训练1.C解析:∵a1=tan225°=1,∴a5=13a1=13,则公差d=𝑎5-𝑎15-1=13-14=3,∴an=3n-2.又∵(-1)nan=(-1)n(3n-2),∴S2016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2014-a2013)+(a2016-a2015)=1008d=3024.2.D解析:∵数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,∴当n=1时,a1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,∴an=2n(n∈N*),∴bn=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=12𝑛(2𝑛+2)=14(1𝑛-1𝑛+1),T9=14[(1-12)+(12-13)+…+(19-110)]=14×(1-110)=940.3.C解析:∵Sn=n2-2n-1,∴a1=S1=12-2-1=-2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-1-[(n-1)2-2(n-1)-1]=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.∴an={-2,𝑛=1,2𝑛-3,𝑛≥2.∴a3+a17=(2×3-3)+(2×17-3)=3+31=34.4.D解析:∵f(1)=52,f(2)=32+52,f(3)=32+32+52,……,f(n)=32+f(n-1),∴{f(n)}是以52为首项,32为公差的等差数列.∴S20=20×52+20(20-1)2×32=335.5.A解析:因为数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1,公比为13的等比数列,所以an-an-1=(13)𝑛-1,n≥2.所以当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+13+(13)2+…+(13)𝑛-1=1-(13)𝑛1-13=32−32×(13)𝑛.又当n=1时,an=32−32×(13)𝑛=1,则an=32−32×(13)𝑛,n∈N*.Gothedistance46.2000解析:设放在第x个坑边,则S=20(|x-1|+|x-2|+…+|20-x|).由式子的对称性讨论,当x=10或11时,S=2000.当x=9或12时,S=20×102=2040;……当x=1或19时,S=3800.∴Smin=2000(m).7.12解析:由a11=2及an+1=11-𝑎𝑛,得a10=12.同理a9=-1,a8=2,a7=12,….所以数列{an}是周期为3的数列.所以a1=a10=12.8.{14,𝑛=1,2𝑛+1,𝑛≥2解析:在12a1+122a2+…+12𝑛an=2n+5中用(n-1)代换n得12a1+122a2+…+12𝑛-1an-1=2(n-1)+5(n≥2),两式相减,得12𝑛an=2,an=2n+1,又12a1=7,即a1=14,故an={14,𝑛=1,2𝑛+1,𝑛≥2.9.解:(1)∵an+1=an+2n+1,∴an+1-an=2n+1,∴an-an-1=2n-1,∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+5+…+(2n-1)=𝑛(1+2𝑛-1)2=n2.(2)由(1)知,bn=2𝑛+1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=2𝑛+1𝑛2(𝑛+1)2=1𝑛2−1(𝑛+1)2,∴Tn=(112-122)+(122-132)+…+[1𝑛2-1(𝑛+1)2]=1-1(𝑛+1)2,∴数列{Tn}是递增数列,∴最小值为1-1(1+1)2=34,只需要34m,∴m的取值范围是(-∞,34).10.解:(1)(方法一)∵nan+1=Sn+n(n+1),∴当n≥2时,(n-1)an=Sn-1+n(n-1),两式相减,得nan+1-(n-1)an=Sn-Sn-1+n(n+1)-n(n-1),即nan+1-(n-1)an=an+2n,得an+1-an=2.当n=1时,1×a2=S1+1×2,即a2-a1=2.∴数列{an}是以0为首项,2为公差的等差数列.∴an=2(n-1)=2n-2.(方法二)由nan+1=Sn+n(n+1),得n(Sn+1-Sn)=Sn+n(n+1),整理,得nSn+1=(n+1)Sn+n(n+1),两边同除以n(n+1),得𝑆𝑛+1𝑛+1−𝑆𝑛𝑛=1.∴数列{𝑆𝑛𝑛}是以𝑆11=0为首项,1为公差的等差数列,∴𝑆𝑛𝑛=0+n-1=n-1.∴Sn=n(n-1).当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n-1)-(n-1)(n-2)=2n-2.又a1=0适合上式,∴数列{an}的通项公式为an=2n-2.(2)∵an+log2n=log2bn,∴bn=n·2𝑎𝑛=n·22n-2=n·4n-1.∴Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn=40+2×41+3×42+…+(n-1)×4n-2+n×4n-1,①4Tn=41+2×42+3×43+…+(n-1)×4n-1+n×4n,②由①-②,得-3Tn=40+41+42+…+4n-1-n×4n=1-4𝑛1-4-n×4n=(1-3𝑛)×4𝑛-13.∴Tn=19[(3n-1)×4n+1].11.解:(1)因为2Sn=3n+3,Gothedistance5所以2a1=3+3,故a1=3.当n1时,2Sn-1=3n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,所以an={3,𝑛=1,3𝑛-1,𝑛1.(2)因为anbn=log3an,所以b1=13,当n1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=13;当n1时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=13+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n),所以3Tn=1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n),两式相减,得2Tn=23+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=23+1-31-𝑛1-3-1-(n-1)×31-n=136−6𝑛+32×3𝑛,所以Tn=1312−6𝑛+34×3𝑛.经检验,当n=1时也适合.综上可得Tn=1312−6𝑛+34×3𝑛.思维提升训练12.B解析:根据条件找规律,第1个1是分子、分母的和为2,第2个1是分子、分母的和为4,第3个1是分子、分母的和为6,……,第50个1是分子、分母的和为100,而分子、分母的和为2的有1项,分子、分母的和为3的有2项,分子、分母的和为4的有3项,……,分子、分母的和为99的有98项,分子、分母的和为100的项依次是:199,298,397,……,5050,5149,…,991,第50个1是其中第50项,在数列中的序号为1+2+3+…+98+50=98(1+98)2+50=4901.13.-1𝑛解析:由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得1𝑆𝑛−1𝑆𝑛+1=1,即1𝑆𝑛+1−1𝑆𝑛=-1,则{1𝑆𝑛}为等差数列,首项为1𝑆1=-1,公差为d=-1,∴1𝑆𝑛=-n,∴Sn=-1𝑛.14.解:(1)(方法一)∵{an}是等差数列,∴Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d=na1+𝑛(𝑛-1)2×2=n2+(a1-1)n.又由已知Sn=pn2+2n,∴p=1,a1-1=2,∴a1=3,∴an=a1+(n-1)d=2n+1,∴p=1,an=2n+1.(方法二)由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4,即a1+a2=4p+4,∴a2=3p+2.又等差数列的公差为2,∴a2-a1=2,∴2p=2,∴p=1,∴a1=p+2=3,∴an=a1+(n-1)d=2n+1,∴p=1,an=2n+1.(方法三)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2,∴a2=3p+2,由已知a2-a1=2,∴2p=2,∴p=1,∴a1=p+2=3,∴an=a1+(n-1)d=2n+1,∴p=1,an=2n+1.(2)由(1)知bn=2(2𝑛-1)(2𝑛+1)=12𝑛-1−12𝑛+1,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(11-13)+(13-15)+(15-17)+…+(12𝑛-1-12𝑛+1)=1-12𝑛+1=2𝑛2𝑛+1.∵Tn910,∴2𝑛2𝑛+1910,∴20n18n+9,即n92.∵n∈N*,∴使Tn910成立的最小