专题62-双曲线(解析版)

中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师专题62双曲线专题知识梳理1．双曲线的定义在平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数，大于0且小于|F1F2|的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{x||MF1|－|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则M点的轨迹为双曲线；(2)若a＝c，则M点的轨迹为两条射线；(3)若ac，则M点不存在．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)；(2)焦点在y轴上：y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性关于原点、x轴、y轴对称顶点(±a，0)(0，±a)焦点(±c，0)(0，±c)中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师轴长与焦距实轴长2a，虚轴长2b，焦距2c渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca(e＞1)a、b、c关系a2＋b2＝c2准线方程x＝±a2cy＝±a2c考点探究考向1双曲线的定义及其应用【例】(1)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝____．(2)已知点P为双曲线x216－y29＝1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若128PMFPMFSS，则△MF1F2的面积为____．【解析】(1)如图所示，因为AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝2a，BF1＝AF2＋BF2，所以AF2＝2a，AF1＝4a.所以BF1＝22a，所以BF2＝22a－2a.因为F1F22＝BF21＋BF22，所以(2c)2＝(22a)2＋(22a－2a)2，所以e2＝5－22.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师(2)设内切圆的半径为R，a＝4，b＝3，c＝5，因为S△PMF1＝S△PMF2＋8，所以12(PF1－PF2)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以S△MF1F2＝12·2c·R＝10.题组训练1.如果双曲线x24－y212＝1上一点P到它的右焦点F2的距离是8，那么点P到它的左焦点F1的距离是____．【解析】由双曲线方程，得a＝2，c＝4.设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义PF1－PF2＝±2a，∴PF1＝PF2±2a＝8±4，∴PF1＝12或PF1＝4.2.已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，66)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为____．【解析】设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为x－3＋y66＝1.与x2－y28＝1联立，解得P点坐标为(－2，26)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝126.考向2双曲线的标准方程及应用【例】(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线的标准方程为____．(2)在平面直角坐标系xOy中，已知方程x24－m－y22＋m＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为____．【解析】（1）解法一：由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，（－3）2a2－（23）2b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.所以双曲线的方程为4x29－y24＝1.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师解法二：设所求双曲线方程x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为4x29－y24＝1.（2）由题意可得(4－m)(2＋m)0，解得－2m4.题组训练1.与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线的标准方程为____．【解析】设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.又双曲线过点(32，2)，∴（32）2a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2.∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.2.已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1→·MF2→0，则y0的取值范围是____．【解析】因为F1(－3，0)，F2(3，0)，x202－y20＝1，所以MF1→·MF2→＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝x20＋y20－3＜0，即3y20－1＜0，解得y0的取值范围为－33＜y0＜33.考向3与双曲线的离心率、渐近线相关的问题【例】(1)（2018·南京一模）在平面直角坐标系中，已知点F为抛物线28yx的焦点，则点F到双曲线221169xy的渐近线的距离为．(2)（2017·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，双曲线2213xy的右准线与它的两条渐近线分别交于点,PQ，其焦点是12,FF，则四边形12FPFQ的面积是．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师(3)以双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为____．【解析】（1）∵点F为抛物线28yx的焦点，∴(2,0)F，又双曲线221169xy的渐近线为34yx，∴(2,0)F到34yx的距离为65．（2）右准线方程为33101010x，渐近线方程为33yx，设31030(,)1010P，则1231030(,),(10,0),(10,0)1010QFF，则302102310S.（3）由题意可得右焦点(c，0)到渐近线y＝bax的距离为a，则b＝a，该双曲线的离心率为e＝ca＝1＋（ba)2＝2.题组训练1.已知F1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝13，则E的离心率为____．【解析】设F1(－c，0)，将x＝－c代入双曲线方程，得c2a2－y2b2＝1，所以y2b2＝c2a2－1＝b2a2，所以y＝±b2a.因为sin∠MF2F1＝13，所以tan∠MF2F1＝MF1F1F2＝b2a2c＝b22ac＝c2－a22ac＝c2a－a2c＝e2－12e＝24，所以e2－22e－1＝0，所以e＝2.2.设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若3e1＝e2，则e1＝____．【解析】设椭圆长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，不妨设12PFPF由题意可得到121222122121221222212211522234PFPFaPFPFaaaceeePFPFc中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师3.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为____．【解析】∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c，0)到y＝bax的距离为2，即|bc|a2＋b2＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴bcc＝b＝2，又∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝c2－b2＝5，∴离心率e＝ca＝35＝355.4.已知点P是双曲线x2a2－y232＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0，设点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|PF2|＝3，则|PF1|＝____．【解析】∵一条渐近线方程为3x－y＝0，即y＝3x，∴3a＝3，∴a＝1.由题意知：|PF1|－|PF2|＝2a＝2，∴|PF1|＝|PF2|＋2＝5.5.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与圆x2＋(y＋2)2＝1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为____．【解析】双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线y＝±bax，即bx±ay＝0与圆x2＋(y＋2)2＝1没有公共点，则2aa2＋b2＝2ac1，2ac，故该双曲线的离心率满足1e＝ca2，即双曲线的离心率的取值范围为(1，2)．6.在平面直角坐标系xOy中，双曲线222:1(0)yCxbb的两条渐近线与圆22:2Oxy的四个交点依次为,,,ABCD，若矩形ABCD的面积为b，则b的值为____．【解析】联立222ybxxy，则得2222121xbbyb，所以2841bSxybb，得7b.7.已知焦点在坐标轴上的双曲线．它的两条渐近线方程为30xy，焦点到渐近线的距离为3，求此双中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师曲线的方程．【解析】（1）当焦点在x轴上时，设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，则3ba，又焦点F（c，0）到渐近线3yx的距离为3，则有332c，23c根据c2＝a2十b2；得a2＝3，b2＝9，此时双曲线方程为22139xy．（2）当焦点在y轴上时，设双曲线方程为22221(0,0)yxabab，则3ab，又焦点F（0，c）到渐近线3yx的距离为3，则有32c，c＝6．根据c2＝a2＋b2，解得a2＝27，b2＝9．此时双曲线方程为221279yx．综合（1）（2），双曲线方程为22139xy或221279yx．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师