2011年高考一轮课时训练(理)7.6不等式的证明(1) (通用版)

第六节不等式的证明（1）一、选择题1．分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案：A2．(2010年上海春招卷)若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是()A.1a＜1bB．a2＞b2C.ac2＋1＞bc2＋1D．a|c|＞b|c|解析：由不等式的性质容易得答案C.答案：C3．已知0＜a＜1，b＞1且ab＞1，则下列不等式中成立的是()A．logb1b＜logab＜loga1bB．logab＜logb1b＜loga1bC．logab＜loga1b＜logb1bD．loga1b＞loga1b＜logab答案：B4．设a＞1，P＝a＋1＋a，Q＝a＋2＋a－1，则()A．p＜QB．P≥QC．P≤QD．P＞Q解析：P2＝2a＋1＋2a2＋a，Q2＝2a＋1＋2a2＋a－2∵a2＋a＞a2＋a－2，∴P2＞Q2，P＞Q，选D.答案：D5．设a＞0，b∈R，则一定有()A.b2a＞2b－aB.b2a≥2b－aC.b2a＜2b－aD.b2a≤2b－a解析：∵b2a＋a≥2b2a·a＝2|b|≥2b，∴b2a≥2b－a.选B.答案：B二、填空题6．在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1＝b1＞0，an＝bn＞0，则am与bm(1＜m＜n)的大小关系是__________．解析：若d＝0或q＝1，则am＝bm.若d≠0，画出an＝a1＋(n－1)d与bn＝b1·qn－1的图象，易知am＞bm，故am≥bm.答案：am≥bm7．同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高．这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a1，a2，…，an满足a1≤a2≤…≤an，则__________(结论用数学式子表示)．解析：设原有人数为n，去掉高分的n－m个人(1≤m＜n)，则n个人的平均分为a1＋a2＋…＋ann；m个人的平均分为a1＋a2＋…＋amm.同理，去掉同n个人中低分的m个人时，n－m个人的平均分为am＋1＋am＋2＋…＋ann－m.依题意，得a1＋a2＋…＋amm≤a1＋a2＋…＋ann，am＋1＋am＋2＋…＋ann－m≥a1＋a2＋…＋ann.答案：a1＋a2＋…＋amm≤a1＋a2＋…＋ann，am＋1＋am＋2＋…＋ann－m≥a1＋a2＋…＋ann8．(2010年全国卷)已知AC、BD是圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD的面积的最大值为：________.解析：设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d21＋d22＝3.由平面几何知识知|AC|＝24－d21，|BD|＝24－d22，∴S四边形ABCD＝12|AC|·|BD|＝24－d21·4－d21≤(4－d21)＋(4－d22)＝8－(d21＋d22)＝5，即四边形ABCD的面积的最大值为5.答案：5三、解答题9．已知a、b、c∈R，求证：a2＋b2＋c2＋4≥ab＋3b＋2c.证明：左边－右边＝a2＋b2＋c2＋4－ab－3b－2c＝14(4a2＋4b2＋4c2＋16－4ab－12b－8c)＝14[(2a－b)2＋3(b－2)2＋4(c－1)2]≥0，∴a2＋b2＋c2＋4≥ab＋3b＋2c.10．设a、b、c均为实数，求证：12a＋12b＋12c≥1b＋c＋1c＋a＋1a＋b.证明：∵a、b、c均为实数，∴1212a＋12b≥12ab≥1a＋b，当a＝b时等号成立；1212b＋12c≥12bc≥1b＋c，当b＝c时等号成立；1212c＋12a≥12ca≥1c＋a，当a＝c时等号成立．三个不等式相加即得12a＋12b＋12c≥1b＋c＋1c＋a＋1a＋b，当且仅当a＝b＝c时等号成立．