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第二单元空间向量及其应用第一节空间向量及其运算一、选择题1．在以下四个式子中正确的有()a＋b·c，a·(b·c)，a(b·c)，|a·b|＝|a||b|A．1个B．2个C．3个D．0个解析：根据数量积的定义，b·c是一个实数，a＋b·c无意义．实数与向量无数量积，故a·(b·c)错，|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|，只有a(b·c)正确．答案：A2．已知a＝(1－t,1－t，t),b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是()A.55B.555C.355D.115答案：C3．已知向量a＝(1,2,3),b＝(－2，－4，－6)，|c|＝14，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C4．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列式子中与B1M→相等的是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c解析：B1M→＝B1B→＋BM→＝B1B→＋12(BA→＋BC→)＝A1A→－12A1B1→＋12A1D1→＝c－12a＋12b，故选A.答案：A5.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝()A.627B．9C.647D.657答案：D二、填空题6．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.解析：由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，及(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0.两式相减得46a·b＝23|b|2，∴a·b＝12|b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝|b|.∴cos〈a，b〉＝a·b||a||b＝12|b|2|b|2＝12.∴〈a，b〉＝60°.答案：60°7．已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b垂直，则k的值为________．解析：(ka＋b)·(2a－b)＝(k－1，k,2)(3,2，－2)＝5k－7＝0，∴k＝75.答案：758．下列命题中不正确的命题是________．①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．解析：易知只有①是正确的，对于④，若O∉平面ABC，则OA→、OB→、OC→不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面．答案：②③④三、解答题9．试用向量证明三垂线定理及其逆定理．已知：如右图所示，PO、PA分别是平面α的垂线和斜线，OA是PA在α内的射影，a⊂α，求证：a⊥PA⇔a⊥OA.证明：设直线a上非零向量a，要证a⊥PA⇔a⊥OA，即证a·AP→＝0⇔a·AO→＝0.∵a⊂α，a·OP→＝0，∴a·AP→＝a·(AO→＋OP→)＝a·AO→＋a·OP→＝a·AO→.∴a·AP→＝0⇔a·AO→＝0，即a⊥PA⇔a⊥OA.10．已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．(1)化简12AA′→＋BC→＋23AB→，并在图形中标出其结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点，且BN∶NC′＝3∶1，设MN→＝αAB→＋βAD→＋γAA′→，试求α，β，γ之值．解析：(1)先在图形中标出12AA′→，为此，可取AA′→的中点E，则12AA′→＝EA′→.∵AB→＝D′C′→，在D′C′上取点F，使D′F＝23D′C′.∴23AB→＝23D′C′→＝D′F→.又BC→＝A′D′→，从而有12AA′→＋BC→＋23AB→＝EA′→＋A′D′→＋D′F′→＝EF→，如右图所示．(2)MN→＝MB→＋BN→＝12DB→＋34BC′→＝12()DA→＋AB→＋34()BC→＋CC′→＝12()－AD→＋AB→＋34()AD→＋AA′→＝12AB→＋14AD→＋34AA′→，∴α＝12，β＝14，γ＝34.