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第三节空间图形的平行关系题号12345答案一、选择题1．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是()A．α、β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线点A、B、C到β的距离相等C．a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β2．(2009年滨州模拟)给出下列命题：①若平面α内的直线l垂直于平面β内的任意直线，则α⊥β；②若平面α内的任一直线都平行于平面β，则α∥β；③若平面α垂直于平面β，直线l在平面α内，则l⊥β；④若平面α平行于平面β，直线l在平面α内，则l∥β.其中正确命题的个数是()A．4B．3C．2D．13．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为()A．16B．24或245C．14D．204．a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是()A．过A有且只有一个平面平行于a、bB．过A至少有一个平面平行于a、bC．过A有无数个平面平行于a、bD．过A且平行a、b的平面可能不存在5．给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；③若l⊂α，m⊂α，l∩m＝点A，l∥β，m∥β，则α∥β；④m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l.其中为假命题的是()A．①B．②C．③D．④二、填空题6．设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A(A与BC分居平面两侧)作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC＝a，AD＝b，DF＝c，则EG＝________.7．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.8．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号)三、解答题9.(2009年柳州模拟)如右图所示，ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点．(1)求证：BD1∥平面C1DE；(2)求三棱锥D－D1BC的体积．10.(2009年宁夏模拟)如右图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)求三棱锥E—PAD的体积；(2)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(3)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.参考答案1．解析：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确．答案：D2．B3．解析：利用△PAB与△PCD相似可得，当α，β在点P的同侧时，BD为245；α，β在点P的异侧时，BD为24.答案：B4．解析：过点A可作直线a′∥a，b′∥b，则a′∩b′＝A.∴a′、b′可确定一个平面，记为α.如果a⊄α，b⊄α，则a∥α，b∥α.由于平面α可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在．答案：D5．解析：本题考查线线，线面及面面位置关系的判定．答案：B6.ab－acb7．点M在线段FH上8．解析：如右图所示，A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直；DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点．答案：①②④9．解析：(1)证明：连接D1C交DC1于F，连结EF.∵ABCD—A1B1C1D1为正四棱柱，∴四边形DCC1D1为矩形，∴F为D1C中点．在△CD1B中，∵E为BC中点，∴EF∥D1B.又∵D1B⊄面C1DE，EF⊂面C1DE，∴BD1∥平面C1DE.(2)连结BD，VD－D1BC＝VD1－DBC，∵AC′是正四棱柱，∴D1D⊥面DBC.∵DC＝BC＝2，∴S△BCD＝12×2×2＝2.VD1－DBC＝13·S△BCD·D1D＝13×2×1＝23.∴三棱锥D－D1BC的体积为23.10．解析：(1)三棱锥E—PAD的体积V＝13PA·S△ADE＝13PA·12AD·AB＝36.(2)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC，又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC.(3)证明：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴EB⊥PA，又EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，∴EB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥EB，又PA＝AB＝1，点F是PB中点，∴AF⊥PB又∵PB∩BE＝B，PB，BE⊂面PBE，∴AF⊥面PBE，∵PE⊂面PBE，∴PE⊥AF.