2011年高考一轮课时训练(理)10.2双曲线 (通用版)

第二节双曲线题号12345答案一、选择题1．(2009年全国卷Ⅱ)双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝()A.3B．2C．3D．62．(2009年江西卷)设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A.32B．2C.52D．33．(2009年福建卷)若双曲线x2a2－y23＝1(a＞0)的离心率为2，则a等于()A．2B.3C.32D．14．(2008年重庆卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝kx(k＞0)，离心率e＝5k，则双曲线方程为()A.x2a2－y24a2＝1B.x2a2－y25a2＝1C.x24b2－y2b2＝1D.x25b2－y2b2＝15．“ab＜0”是“曲线ax2＋by2＝1为双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件二、填空题6．(2008年上海春招)已知P是双曲线x2a2－y29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若||PF2＝3，则||PF1＝______.7．(2008年海南宁夏卷)双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为__________．8．已知F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________．三、解答题9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．10．(2009年上海卷)双曲线C：x22－y2＝1，设过A(－32，0)的直线l的方向向量e＝(1，k)．(1)当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；(2)证明：当k＞22时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到达直线l的距离为6.参考答案1．解析：由圆心到渐近线的距离等于r，可求r＝3.答案：A2．解析：由tanπ6＝c2b＝33有3c2＝4b2＝4(c2－a2)，则e＝ca＝2，故选B.答案：B3．解析：由x2a2－y23＝1可知虚半轴b＝3，而离心率e＝ca＝a2＋3a＝2，解得a＝1或a＝－1(舍去)，选D.答案：D4．解析：e＝ca＝5k⇒ba＝kca＝5ka2＋b2＝c2,所以a2＝4b2.答案：C5．解析：由ab＜0，得a0，b＜0或a＜0，b0.由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然．答案：C6．解析：由题知a＝1，故||PF1－|PF2|＝2，∴|PF1|＝|PF2|＋2＝3＋2＝5.答案：57．解析：双曲线的右顶点坐标A(3,0)，右焦点坐标F(5,0)，设一条渐近线方程为y＝43x，建立方程组y＝43x－5x29－y216＝1，得交点纵坐标y＝－3215，从而S△AFB＝12×2×3215＝3215.答案：32158．解析：∵△ABF2是等腰三角形，顶角为∠AF2B.∴△ABF2是锐角三角形⇔12∠AF2B＜45°⇔b2a2c＜tan45°.由b22ac＜1⇒c2－a2＜2ac⇒e2－2e－1＜0⇒0＜e＜1＋2，又e＞1，∴e的取值范围是：(1,1＋2)．答案：(1,1＋2)9．解析：(1)由e＝2⇒ca＝2⇒c2＝2a2⇒a2＝b2.设双曲线方程为x2－y2＝λ，将点(4，－10)代入得：λ＝6，故所求双曲线方程为x2－y2＝6.(2)∵c2＝12，∴焦点坐标为(±23，0)将M(3，m)代入x2－y2＝4得：m2＝3.当m＝3时，MF1→＝(－23－3，－3)，MF2→＝(23－3，－3)∴MF1→·MF2→＝(－3)2－(23)2＋(－3)2＝0，∴MF1⊥MF2，当m＝－3时，同理可证MF1⊥MF2.(3)S△F1MF2＝12·|2c|·|m|＝12·43·3＝6.10．解析：(1)双曲线C的渐近线m：x2±y＝0.∴直线l的方程x±2y＋32＝0∴直线l与m的距离d＝321＋2＝6.(2)证明：法一：设过原点且平行与l的直线b：kx－y＝0，则直线l与b的距离d＝32|k|1＋k2当k＞22时，d＞6.又双曲线C的渐近线为x±2y＝0，∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于6.故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6.法二：双曲线C的右支上存在点Q(x0，y0)到直线l的距离为6，则|kx0－y0＋32k|1＋k2＝6，①x20－2y20＝2，②由①得y0＝kx0＋32k±6·1＋k2，设t＝32k±6·1＋k2.当k＞22，t＝32k±6·1＋k2＞0.将y0＝kx0＋t代入②得(1－2k2)x20－4ktx0－2(t2＋1)＝0(*)∵k＞22，t＞0，∴1－2k2＜0，－4kt＜0，－2(t2＋1)＜0∴方程(*)不存在正根，即假设不成立．故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l的距离为6.