2011届高三一轮测试(文)8圆锥曲线方程(通用版)

圆锥曲线方程—————————————————————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)题号123456789101112答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x216－y29＝1的焦点坐标为()A．(－7，0)、(7，0)B．(0，－7)、(0，7)C．(－5,0)、(5,0)D．(0，－5)、(0,5)2．若拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为4，则其焦点坐标为()A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(1,0)3．已知双曲线x24－y212＝1的离心率为e，拋物线x＝2py2的焦点为(e,0)，则p的值为()A．2B．1C.14D.1164．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2，线段P1P2的中点为P.设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于()A．－2B．2C.12D．－125．若点P(2,0)到双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C．22D．236．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为22，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标为b，则k的值为()A.22B．±22C.12D．±127．如图所示，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的面积为abπ，过坐标原点的直线l、x轴正半轴及椭圆围成两区域面积分别设为s、t，则s关于t的函数图象大致形状为图中的()8．椭圆x225＋y216＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点M满足|M|＝1，·＝0，则|M|的最小值为()A．3B.3C．2D.29．两个正数a，b的等差中项是5，等比中项是4.若ab，则双曲线x2a－y2b＝1的渐近线方程是()A．y＝±2xB．y＝±12xC．y＝±24xD．y＝±22x10．已知椭圆x216＋y29＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为()A.95B．3C.977D.9411．直线l过抛物线C∶y2＝2px(p0)的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，分别从A，B两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A1，B1，则∠A1FB1是()A．锐角B．直角C．钝角D．直角或钝角12．已知点F为双曲线x216－y29＝1的右焦点，M是双曲线右支上一动点，定点A的坐标是(5,1)，则4|MF|＋5|MA|的最小值为()A．12B．20C．9D．16第Ⅱ卷(非选择题共90分)题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分二171819202122得分二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程是________．14．以双曲线x24－y25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是____________．15．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点是F1(－c,0)、F2(c,0)，M是椭圆上一点，且F1M·＝0，则离心率e的取值范围是________．16．给出如下四个命题：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的图形是圆；②若椭圆的离心率为22，则两个焦点与短轴的两个端点构成正方形；③抛物线x＝2y2的焦点坐标为18，0；④双曲线y249－x225＝1的渐近线方程为y＝±57x.其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上．双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.求椭圆及双曲线的方程．18．(本小题满分12分)若一动点M与定直线l：x＝165及定点A(5,0)的距离比是4∶5.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设所求轨迹C上有点P与两定点A和B(－5,0)的连线互相垂直，求|PA|·|PB|的值．19．(本小题满分12分)抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1＝0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|＝8611.(1)求抛物线的方程；(2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)如图，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．21.(本小题满分12分)如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M(3,1)．平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，且交椭圆于A，B两不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)求证；直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．22．(本小题满分12分)如图所示，椭圆C的方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为－1的直线交椭圆于B点，点P(1,0)，且BP∥y轴，△APB的面积为92.(1)求椭圆C的方程；(2)在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．答案：一、选择题1．Cc2＝a2＋b2＝16＋9＝25，c＝5.2．B根据p的几何意义可知p＝4，故焦点为(2,0)．3．D依题意得e＝2，拋物线方程为y2＝12px，故18p＝2，得p＝116，选D.4．D设直线l的方程为y＝k1(x＋2)，代入x2＋2y2＝2，得(1＋2k21)x2＋8k21x＋8k21－2＝0，所以x1＋x2＝－8k211＋2k21，而y1＋y2＝k1(x1＋x2＋4)＝4k11＋2k21，所以OP的斜率k2＝y1＋y22x1＋x22＝－12k1，所以k1k2＝－12.5．A由于双曲线渐近线方程为bx±ay＝0，故点P到直线的距离d＝2ba2＋b2＝2⇒a＝b，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e＝1＋ba2＝2.6．B由e＝ca＝a2－b2a＝22得a2＝2b2，设交点的纵坐标为y0，则y0＝kb，代入椭圆方程得b22b2＋k2b2b2＝1，解得k＝±22，选B.7．B根据椭圆的对称性，知s＋t＝12abπ，因此选B.8．B依题意得F(3,0)，MF⊥MP，故|M|＝|PF→|2－|MF→|2＝|PF→|2－1，要使|M|最小，则需|P|最小，当P为右顶点时，|P|取最小值2，故|M|的最小值为3，选B.9．B由已知得a＋b＝10ab＝16⇒a＝8b＝2(ab)．故双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±12x(在这里注意a，b与双曲线标准方程中的a，b的区别，易由思维定势而混淆)．10．D设椭圆短轴的一个端点为M.由于a＝4，b＝3，∴c＝7b.∴∠F1MF290°，∴只能∠PF1F2＝90°或∠PF2F1＝90°.令x＝±7得y2＝91－716＝9216，∴|y|＝94.即P到x轴的距离为94.11．B如图，由抛物线定义可知AA1＝AF，故∠1＝∠2，又AA1∥x轴，故∠1＝∠3，从而∠2＝∠3，同理可证得∠4＝∠6，故∠A1FB1＝∠3＋∠6＝12×π＝π2，故选B.12．C由题意可知，a＝4，b＝3，c＝5，∴e＝54，右准线方程为x＝165，且点A在双曲线张口内．则|MF|＝e·d＝54d(d为点M到右准线的距离)．∴4|MF|＋5|MA|＝5(d＋|MA|)，当MA垂直于右准线时，d＋|MA|取得最小值，最小值为5－165＝95，故4|MF|＋5|MA|的最小值为9.二、填空题13．.【解析】设点P(x，y)则Q(－1，y)，由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得y2＝4x.故填y2＝4x.【答案】y2＝4x14．【解析】双曲线x24－y25＝1的中心为O(0,0)，该双曲线的右焦点为F(3,0)，则拋物线的顶点为(0,0)，焦点为(3,0)，所以p＝6，所以拋物线方程是y2＝12x.【答案】y2＝12x15．【解析】设点M的坐标为(x，y)，则＝(x＋c，y)，＝(x－c，y)．由·＝0，得x2－c2＋y2＝0.①又由点M在椭圆上，得y2＝b－b2x2a2，代入①，解得x2＝a2－a2b2c2.∵0≤x2≤a2，∴0≤a2－a2b2c2≤a2，即0≤2c2－a2c2≤1，0≤2－1e2≤1.∵e＞0，解得22≤e≤1.又∵e＜1，∴22≤e＜1.【答案】[22，1)16．【解析】对①，(x－1)2＋y2＝0，∴x＝1，y＝0，即表示点(1,0)．对②，若e＝ca＝22，则b＝c.∴两焦点与短轴两端点构成正方形．对③，抛物线方程为y2＝12x，其焦点坐标为18，0.对④，双曲线y249－x225＝1的渐近线方程为y7±x5＝0，即y＝±75x.【答案】②③三、解答题17．【解析】设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)则根据题意，双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1且满足a2－b2a＝452a2＋b2＝234解方程组得a2＝25b2＝9∴椭圆的方程为x225＋y29＝1，双曲线的方程x225－y29＝118．【解析】(1)设动点M(x，y)，根据题意得x－165x－52＋y2＝45，化简得9x2－16y2＝144，即x216－y29＝1.(2)由(1)知轨迹C为双曲线，A、B即为C的两个焦点，∴|PA|－|PB|＝±8.①又PA⊥PB，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝100.②由②－①2得|PA|·|PB|＝18.19．【解析】(1)设所求抛物线的方程为y2＝2px(p0)，由y2＝2px，x＋y－1＝0，消去y，得x2－2(1＋p)x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(1＋p)，x1·x2＝1.∵|AB|＝8611，∴1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝8611，∴121p2＋242p－48＝0，∴p＝211或－2411(舍)．∴抛物线的方程为y2＝411x.(2)设AB的中点为D，则D1311，－211.假设x轴上存在满足条件的点C(x0,0)，∵△ABC为正三角形，∴CD⊥AB，∴x0＝1511.∴C1511，0，∴|CD|＝2211.又∵|CD|＝32|AB|＝12211，故矛盾，∴x轴上不存在点C，使△ABC为正三角形．20．【解析】(1)设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得C：y2＝4x.(2)设直线AB的方程为x＝my＋1(m≠0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M－1，－2m，联立方程组y2＝4x，x＝my＋1，消去x，得y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2＋16＞0，故y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.由＝λ1，＝λ2，得y1＋2m＝－λ1y1，y2＋2m＝－λ2y2，整理，得λ1＝－1－2my1，λ2＝－1－2my2，∴λ1＋λ2＝－2－2m1y1＋1y2＝－2－2m·y1＋y2y1y2＝－2－2m·4m－4＝0.21．【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，a＝3b9a2＋1b2＝1⇒a2＝18b2＝2，所求椭圆的方程为x218＋y22＝1(2)∵直线l∥OM且在y轴上的截距为m，∴直线l方程为：y＝13x＋m由y＝13x＋mx218＋y22＝1